复数教学的一些体会

复数教学的一些体会

路亚丽

复数是对数系的一种扩充，为什么要引进复数，复数是如何产生的，能解决什么实际问题?这些问题都是同学们关心的问题，也是使学生产生学习兴趣的切入点，所以我们在讲解这部分内容时，并不需要急于介绍复数的概念、复数的表示形式、复数的运算等等，我们应该从数系的扩充过程开始，让学生了解数系的发展历史和产生的背景。数的概念是从实践中产生和发展起来的，早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。自然数的全体构成自然数集N。随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展。为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数。在整数范围内除法并不总是可以进行的，引入了有理数后解决了这一问题。又如，有理数范围内，开方运算并不都是可能的，而引入了无理数，也就是把有理数扩展到实数以后，一个正数的开方问题就得到了解决。然后，在此基础上提出在实数集范围内所面临的运算矛盾——x²=－1这样的方程还是无解的，由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫作虚数单位，进而顺理成章地过渡到复数的引入，这样就会使得学生在学习复数的概念、复数的代数表示及几何意义、复数的代数运算法则等知识时觉得并不突兀，从而能站在人类社会发展的角度上去认识复数这一对学生而言陌生的新生事物。

在复数相等的概念引入后，应该和两个复数大小比较合在一起，作为“两个复数的关系”来加以讨论。也就是说，按照复数概念——两个复数的关系——复数的运算——复数的几何意义这样的思路展开整个复数的教学。另外，要注意知识的连续性:复数是二维数，其几何意义是一个点(a，b)，因而注意与平面解析几何的联系。注意数形结合的数学思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想。初学者经常将复数的模当作实数的绝对值，教师要善于从错例出发，指导学生分别从代数形式和几何意义上比较两者的异同，使学生理解复数的模在代数形式上就是绝对值|a|=的推广和延伸;在几何意义上，模是复数在复平面内对应的点到原点的距离，绝对值是实数在数轴上对应的点到原点的距离，从绝对值到模是从一维到二维的关系，使得学生看出两者是特殊和一般的关系。为了让学生经历“复数的模”的概括全过程，教师就应该引导他们将模纳入到已有的数的绝对值概念系统中去，从而能够缩短新知识和旧知识的“潜在距离”，促使学生将模和绝对值进行同化，完成新知识的建构。

复数的表达形式有多种，有代数表达形式，有坐标表示形式，有向量表示形式，学生对复数几种形式的认识并不是直线式的发展的，而是螺旋式地上升的，在教学中，我们不应当要求学生在接触复数的几种形式的符号表示或者模的概念时，能够一次性地完成认识，正确看待他们概念理解过程中的错误表现，指导他们在认识中时刻注意反思。在教学中，为了使学生真正理解符号所表示的复数各种形式的意义，培养学生的数感，最好还是先教复数、模等概念的代数符号表示，让学生经过充分的理解，将其纳入到自己的知识网络中，再教复数的几何意义和其他形式表示，这样既有利于学生进行各种形式的比较，又能够减少一种形式对另一种形式的负迁移，从而使得学生有效地建构起自己的知识图式。

另外，数学概念的建立是靠教师直接或间接地代替进行快体验、快抽象，而过快的抽象过程只能使得一部分优秀生进行有意义的学习，却难以引起一些困难生的有效学习活动，而只能死记硬背运算法则，甚至就会出现诸如的错误。由教师代替学生快抽象出复数的有关概念和性质，比如，老师讲完模|z|的概念就将有关模的性质呈现给学生，容易使得学生(特别是中等以下的学生)的学习活动不连贯，没有经过充分的“过程”“活动”，就体会不到其中的结构特征，这样建构的模的概念缺乏完整性，使得他们概念的发展难以达到对象化，从而出现“|z₁+ z₂|=|z₁|+|z₂|”之类的错误。所以教师在教学中要意识到:一个数学概念由“过程”到“对象”的建立往往既是困难的又是漫长的，其中必须经过多次的反复，是螺旋式的上升，而不是直线的前进，甚至会出现短暂的倒退。教师认识到这一规律，要帮助学生在头脑中建立起数学知识的直观结构形象，不断注意指导他们用简洁的符号来表示复数及其有关概念，描述其性质，适当的时候推动向对象化发展。

总之，在复数部分学习中还应该注意以下几点:①在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。②复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可对照学习，温故而知新。③要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理;反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数作为工具运用于几何之中。④要熟练掌握复数乘法、除法的运算法则，特别是除法法则，是考试的重点。另外，注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能比较它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答。