对微积分方程课教学的体会

对微积分方程课教学的体会

潘黎霞

【摘要】在微积分的教学中，本文指出应从介绍数学在经济领域的最新应用，微积分的源与流及用辩证的观点学习微积分，增强学生的应用意识，培养学生的数学素养等方面加强，从而提高教学质量。

【关键词】经济　源与流　思想　方法　应用

微积分是大学基础课中的核心课、是必修课。但在教学过程中普遍存在的问题是老师长篇大论地讲定理、公式，而学生感到内容枯燥无味，学起来吃力，仅仅为考试而学习，甚至考完半年再提起学过的内容，学生似乎已忘得一干二净。长此以往就会使学生机械地学习，仅仅是为了考试而学习。事实上，教师只要深入地研究教材、挖掘相关内容，是可以把这门课讲活的。本人在多年的教学实践中做了一些初步的尝试和探索。

一、介绍数学在经济领域的运用

为了生动形象地说明经济与数学的联系，加强同学们对这门课程的进一步的认识，开始讲课时我举了一些著名的经济与数学联系的例子。如诺贝尔经济学奖与数学的联系。1997年10月14日，瑞典皇家科学院在斯得哥尔摩宣布，将第二十九届诺贝尔经济学奖授予美国哈佛大学教授罗伯特．默顿(Robert Merton)和斯坦福大学教授迈伦．肖尔斯(Myron Scholes)以表彰他们和已故的菲谢尔．布莱克教授一起独创性地归纳出了广泛应用于金融市场中期权各类定价公式，并为众多的经济评估铺平了道路。1997年诺贝尔经济学奖的得主们经过反复的研究，发现股票市场价格遵循带漂移的几何布朗运动的规律。他们利用艰深的数学知识:随机过程和随机微分方程，最终设计出比较科学的各类期权定价公式。尽管该公式比较复杂，但由于电脑联网，交易商操作起来也很方便。如今，期权及其他金融衍生产品的交易不分国界，一天24小时都在进行，每天都有成千上万交易者在运用“布莱克—肖尔斯公式”。从“期权”定价公式进一步介绍金融数学(国际上称为数理金融学)的发展形状、前景及数学在其他经济领域的应用，使学生认识到当今对经济的分析已更多地从定性分析转向定量分析，掌握和运用数学这门工具已成为从事经济工作人员的必备素质。

二、穿插介绍微积分的源与流

现在的微积分课本只讲定理、公式，而对该定理的公式的来龙去脉讲的很少，让学生难免有生搬硬套的感觉，学起来死记硬背。难以对微积分的核心内容及全貌形成明确、清晰的认识。若在讲课时追寻科学家的足迹，适当介绍几句微积分的源与流，会激发学生的学习兴趣加深印象，增强学生攀登科学高峰的信心。如讲到导数时可以谈谈牛顿和莱布尼兹这两位微积分的奠基者的主要工作。伊萨克．牛顿(Isaac Newton 1642－1727)的数学分析基本概念是力学概念的反映。连最简单的几何图形－线、角、体等都被牛顿看作是力学位移的结果。线是点运动的结果，角是它的边旋转的结果，体是表面运动的结果。牛顿认为变量是运动着的点，他把导数考虑为一种速度，称之为流数。1687年他的主要著作《自然哲学的数学原理》出版，在这本名著中，天体的运动可以由运动定理(力等于动量对时间的导数)和引力定律推导出来。《自然哲学的数学原理》在物理和数学的结合方面取得了首次巨大的成就其后被许多人继承，几乎有三百年之久。

戈特弗里德．威廉．莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz 1646－1716)1646年出生在德国莱比锡，15岁进入莱比锡大学学习法律，在答辩了关于逻辑的论文之后，得到了哲学学士学位，1666年他写了论文《论组合的技巧》，这就完成了他在阿尔特多夫大学的博士论文，并使他获得了教授席位。1670年和1671年他写了第一篇力学论文。1672年他出差到巴黎，使他接触到了数学家和自然科学家，激起了他对数学的兴趣。他自己说过，直到1672年他基本上不懂数学。莱布尼兹从1684年起发表微积分论文，在1684年的《学艺报》杂志上他发表了一篇题为《一种求极大值与极小值和切线的新方法。它也适用于公式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。在这篇论文中，他简明地解释他的微分学。他在这篇论文中所给出的微分学符号和计算导数的许多一般法则一直沿用到今天。他使得微分运算几乎是机械的，而在这以前人们还不得不对每一个个别情况采用取极限的步骤。另一点是，莱布尼兹的符号具有独到之处。他不但为我们提供了今天正在使用的一套非常灵巧的微分学符号，而且还在1675年引入了现代的积分符号，用拉丁字Summa(求和)的第一个字母S拉长了表示积分。但是“积分”的名称出现的比较迟，他是由J．伯奴利提出的。

牛顿和莱布尼兹研究微积分学的基础都达到了同一目的，但各自的方法不同。牛顿主要从力学的概念出发。而莱布尼兹作为哲学家和几何学家对这些方法感兴趣。

通过对微积分源与流的介绍使学生看到微积分是一门活的学科。从它的发展过程看到它是人类智慧的结晶。它与自然科学、社会科学有密不可分的联系。通过相关知识的介绍要使学生认识到微积分的特点是:非常成功地运用了无限过程的运算，即极限运算。而其中的微分和积分这两个过程则构成了微分学和积分学的核心。并奠定了全部分析学的基础。

三、激活微积分基本概念，灵活应用微积分基本方法

对微积分的教学，概念、公式、定理、习题的讲解固然重要，但激活基本概念，讲解微积分基本思想，让学生掌握微积分基本方法更为重要。这是对一种思维方式的培养。是一种源于基本内容，又高于基本内容的教学。是对学生学习能力的训练。如在讲解积分上限函数∫^x_af(dt)a≤x≤b时，当f(x)在［a，b］上可积，∫^x_af(dt)，a≤x≤b存在。它首先是一个函数，自变量在积分上限的函数，它不能由基本初等函数经过有限次四则运算与有限次复合而成。它与初等函数的不同不仅是形式上自变量的位置不同，更主要是其所包含的运算是求极限的无限运算。当f(x)在上［a，b］可积时，积分上限函数还是连续函数。当f(x)在［a，b］上连续时，∫^x_af(t)dt a≤x≤b不仅在［a，b］上连续且可导，(∫^x_af(t)dt)=f(x)，积分上限函数∫^x_af(t)dt a≤x≤b是f(x)的一个原函数，有∫f(x)dx=∫^x_af(t)dt+c。通过这样的讲解让学生对积分上限函数有一个全面、深刻的了解。为进一步学习微积分基本定理打下基础。

再如极限方法是微积分的基本方法。特征是:为了求出某个量的精确值，但用初等方法不能解决时，就要用已知的办法求它的近似值，然后在某一无限变化的过程中考察近似值的变化趋势。再根据近似值变化趋势确定出精确值。这种在无限过程中考察变量变化趋势的方法就是极限方法，是一种从有限认识无限，从量变到质变，从近似转化精确的科学方法。极限方法贯穿微积分学习的始终。如导数的定义f＇(x₀)=是自变量的改变量与函数改变量比值的极限。其实际意义就是变化率。求某点的变化率得不到时，可求出某个区间的平均变化率，再让就求出函数在某点的变化率。这实际上就是一种极限方法。再如定积分的定义是一个和式的极限。从引入定积分概念的曲边梯形面积看，曲边梯形面积的精确值利用初等数学得不到，先求出其近似值，再让每个小区间长度趋近于零时求出精确值，这也是极限方法的应用。还有反常积分的敛散性的判别等等，都用到了极限方法。极限方法的应用贯穿了微积分学习的始终。

四、在教学中体现哲学思想

在哲学中有一个著名的“量变到质变”的哲学思想，是说事物在变化过程中，在一定的范围内的变化是量变的问题，但量变达到一定程度就会发生质的变化。这种哲学思想在微积分的学习中随处可见。

例如，在变量的极限运算中有lim［u(x)+ν(x)］=limu(x)+limν(x)。这个法则可以推广lim［u₁(x)+u₂(x)+…u_n(x)］=limu₁(x)+limu₂(x)+…limu_n(x)。但无限个函数作和就不能采用这种做法如。正确的做法应该是这样的。有限项作和到无限项作和已发生了质的变化。再如指数从有限到无限已发生了质的变化。

再如“对立统一”的观点。在几何学发展的初期，“直”与“曲”是两个完全对立的概念，当时主要运用“尺”、“规”研究直线和圆的问题。认识直线的性质比较容易，而对圆的认识比较粗糙，如把“周三径一”作为圆周率的近似值。随着几何学的发展，人们开始逐步探索“直”与“曲”间的相互转化问题。于是，有了“化圆为方”问题。而在微积分的微分三角形中，当自变量的改变量很小时，可以用“直线”(即切线的改变量)来近似地代替曲线的改变量。这就是局部上的“以直代曲”在微分学中直线与曲线竟然等同起来，统一起来。

通过这样的讲解，既可以使学生对所学知识有深刻的认识，又能加深印象。使学生居高临下地把握数学知识及数学的思想和方法。

五、讲请数学概念，理解经济内涵

我们是财经类大学，大部分班级用的是高等学校经济管理学科数学基础的配套教材，这套教材中涉及许多经济概念，只有讲清数学概念才能让学生真正了解其经济内涵以便加以应用。如对边际成本、边际收益、边际利润这些经济概念及计算，只要讲清边际函数的概念，这些问题就迎刃而解了。函数y=f(x)可导，导函数f＇(x)也称为边际函数。函数y=f(x)在x=x₀处x从x₀改变一个单位，y相应改变的增值应为Δy|_x=x0。但当x改变的“单位”很小时，或x₀的“一个单位”与值相对来比很小时，则有Δy|_x=x0Δx=1≈dy|_x=x0dx=1=f＇(x₀)。f＇(x₀)称为f(x)在点x=x₀处的边际函数值。它表示f(x)在点x=x₀处当x产生一个单位的改变时，y近似改变f＇(x₀)个单位。在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字。边际成本就是成本函数的导函数，C＇(q₀)表示在产量为q₀时，增加一个单位的产量所增加的成本。边际收益就是收益函数的导函数，R＇(q₀)表示在销量为q₀时，增加一个单位的销售所增加的收益。边际利润就是利润函数的导函数，L＇(q₀)表示在销量为q₀时，增加一个单位的销售所增加的利润。

六、增强应用意识，提高数学素养

数学的应用是数学科学的重要组成部分，也是数学教育的重要内容。纵观数学发展的历史，数学科学的发展始终没有离开社会生产和科学技术的进步。社会和生产实践所提出的问题是激励数学科学发展的重要因素和源泉。数学是各个学科可以共同使用的一种科学语言，它自己内部形成了一套严密的逻辑体系。这是数学这门学科独具的特色。也正是这个特色使得数学在培养吸收逻辑思维能力上起着不可替代的作用。“数学是理性的音乐，是锻炼思想的体操”或者“数学是科学的语言，是思维的体操”是在数学界人所共知的名言，在社会上有很大的影响。但片面地强调数学的这个特点和作用，忽视数学的应用和应用能力的培养，也就是说数学主要着眼数学内部的理论结构和它们之间的逻辑关系，不注重讨论和训练如何从实践问题中提出数学问题以及如何由数学来解决实际问题方面的内容。这是数学教学工作应特别加以注意的一个问题，在教学过程中只要处处留心，把自己的教学工作向前往后稍加延伸，就可以培养学生应用数学知识分析和解决实际问题的数学素养。

如英国人口学家马尔萨斯(Malthus，1766－1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出拉了人口指数增长模型。他的基本假设是:单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。若已知的人口总数为，试根据马尔萨斯假设确定出时间与人口总数之间的函数关系。根据我国国家统计局1990年10月30日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11．6亿，过去8年的年人口平均增长率为。若今后的年增长率保持这个数字，试用马尔萨斯方程预报2010年我国的人口总数。

解:记时间时的人口总数为x(t)。设单位时间内人口的增长量与人口总数之比为r，r是与时间无关的常数。根据马尔萨斯假设，

这是一个可分离变量方程，容易解出方程满足初始条件的解为x(t)=x₀e^r(t－t0)

将x=2010，t₀=1990，r=0．0148代入，可预报出20102010年我国的人口数为x(2010)=11．6×e^{0．0148(2010－1990)}≈15．5(亿)

数学具有高度的抽象性，严密的逻辑性，应用的广泛性。教师生动、形象的讲解，可以帮助学生更好的掌握所学知识，在以后的学习、工作中加以应用。