数学教学应暴露思维过程

数学教学应暴露思维过程　破解思维障碍

孙　荣

培养学生解决问题的能力是数学教育追求的目标，而提高学生的能力不等于告诉学生有多少种解决问题的方法，毕竟，在未来面对问题（包括数学的、非数学的）时，没有人会告诉他们这个问题属于什么题型，甚至没人知道这个问题是什么题型。数学怎么教？不同的老师会有不同的答案，我认为关键是在教学中应暴露思维过程，破解思维障碍,让学生学会分析面对的问题，遇到障碍时不至于束手无策——我熟悉的方法都无效了，还能往前走吗？

例：已知f（x）=x²-2ax+2，当x∈［-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围。

思路一：第一个念头，当x∈［-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，只需f（x）_min≥a成立。问题转化为求二次函数f（x）的最小值问题，将学生头疼的问题转化为学生熟悉的问题，突破了思维障碍。

f（x）=（x-a）²+2，此二次函数的对称轴为x=a。求f（x）在［-1，+∞）上最小值需对a分类讨论。

当a∈（-1，+∞）时，f（x）在［-1，+∞）上单调递增，

f（x）_min=f（-1）=2a+3，由2a+3≥a，得-3≤a≤-1.

当a∈［-1，+∞）时，f（x））_min=f（a）=2-a2，由2-a2≥a得-1≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围为{a-3≤a≤1}.

反思：思路一是将问题转化为求二次函数的最值问题，变陌生为熟悉，找到了问题的突破口，从而得到解答。还能从其他角度思考这个问题吗？

思路二：由f（x）≥a变形得x²+2≥a（2x+1）①，换个思路，①可看做关于a的一元一次不等式，问题转化为解关于a的一元一次不等式问题。

当2x+1=0，即 时，①式为x2+2≥a恒成立，此时a∈R。

当2x+1＞0，即时，①式为恒成立，只需成立，这样就转化为求时，函数的最小值问题（学生头疼的问题转化为学生熟悉的问题，突破了思维障碍），此时学生的思路豁然开朗。

学生一：可以利用导函数来求最值。（很好，我们尝试一下）

令g＇（x）=0得x₁=-2，x₂=1.

当时，g（x）＜0，当x∈（1，+∞）时g＇（x）＞0。

故g（x）在上为减函数，在（1，+∞）上为增函数。

g（x）_min=g（1）=1，此时a≤1

学生二：还可以用均值不等式求最小值。（非常不错，动手尝试）

，（当且仅当x=1时取“=”）。

当2x+1＜0即-1＜x-时，①式为恒成立，即成立。这样转化为时，求函数的最大值问题（此时，学生已可以很轻松地解决这个问题）：

g（x）在［-1，-）上为减函数，g（x）_max=g（-1）=-3，得≥a-3。

学生三：为什么我用均值不等式求出的最大值不是-3？

学生四：上述求法当且仅当x=-2时取“=”，“=”取不到。（及时表扬，鼓励学生积极思维）

综上知a的取值范围为{a-3≤a≤1}。

反思：思路一、二都是转化为求函数最值问题，解法虽然粗俗是一条较为麻烦的途径，但思维过程自然清晰，学生易于接受。走完这条路后，稍加思索，还可另辟一条思路。

思路三：由已知得x²-2ax+2-a≥0在［-1，+∞）上恒成立，

记f（x）=x²-2ax+2-a，数形结合得

解得a的取值范围为{a|-3≤a≤1|}.

可以看出，解法三既“简”且“奥”，给学生以美的享受，有相当多的老师推崇思路三，甚至跳过思路一与二直接给出解法三。不将思路三的思维过程展现在学生面前，则学生通常只能陶醉在美的享受之中，而受益甚微。长期下来，学生会产生老师为什么能够想出这么简洁、奇妙的解法，我怎么就不行呢？甚至连看都看不懂，看来我不是学数学的料的念头，学生会从敬畏数学到远离数学，这是任何一位数学老师都不期望见到的现象。因为一切解法都应当“不求简，不避粗俗，唯使人易明而已”。

对本例，转化为最值问题是学生最自然的思路，抓住这个思维的源头，顺水推舟，学生积极参与，体验了一次思维展开的全过程，印象深刻。但同样明显的是，思路三不论老师怎样巧妙设计讲授内容，只要学生在整个过程中，都只以“听众”的身份出现，那么，期望他们能够对所学的知识与方法有深刻的认识，并能够在新的情景中灵活运用，将是比较困难的事情。

在给学生讲授数学的过程中，“讲什么”“怎么讲”非常重要，但又是没有“理想答案”的问题，不过，向学生交代思维过程——知识的形成过程，解决问题策略的产生过程，遇到障碍改变思路的过程……凡此种种都对学生发展有重要价值，应当让他们知道。