自由的数学

大自然生生不息，变化万千，高悬的日月、奇异的地貌、繁多的物种、弯曲的河道、美丽的花卉，都存在着数与图形之间的美，引导人们以理智去寻找它们之间的关系，找出事物之间的规律，这是数学的“自在”阶段. 然而数学活动一开始就是理想化，当然有很长一段时间并不是远离实际，随着数学的发展和抽象化、形式化程度的提高，潜藏的对应逐渐分化，矛盾逐步展开，而逐渐成为“自为的数学”.

群论、非欧几何的诞生，拉开了现代数学的序幕.

在讨论高于4次的方程是否存在根式解时，法国数学家E·伽罗华提出一种新的证明: 一个方程如果可以用根式解、相应的伽罗华群(根的置换构成的集合)必属于一定的类，即伽罗华群一定是可解群. 当时几乎无人理解，直到15年以后，才有少数几人重新注意他的工作. 这是数学上最优美的篇章之一，以后才有抽象群的概念，继而产生群论，出现了抽象代数. 伽罗华理论为数学发展开辟了新的道路，对整个数学有着持续的影响.

俄国数学家罗巴切夫斯勇敢地冲破了欧氏几何是唯一的、必然的先验真理的康德哲学的束缚. 他指出，尽管欧氏几何历史悠久，在数学中成就辉煌，但它至今仍保持着原始的缺陷，发端的初始概念不清晰，平行线公理很勉强，严格性不足. 坚信自己的研究成果是正确的，所创立的新几何学终有一天像别的科学学说一样，用实验来予以验证.

非欧几何创立的意义在于: ①作为描述物质宇宙空间的几何，欧氏几何不是唯一的一种形式，各种非欧几何也可以成为描述宇宙的形式，它们各自反映着现实物质世界的不同范围或方面，推翻了康德把欧氏几何当唯一形式的绝对真理论. ②非欧几何的创立并没有推翻欧氏几何，仅仅是对第五公设不再证明，并加进与第五公设迥然不同的另一条公理(欧氏几何其他公理不动)，然后进行逻辑推理出现的奇妙结果，它没有依赖于客观现实，没有触动欧氏几何的核心内容，全靠数学家的思维与智力;突显了理性在数学中的重要作用. ③非欧几何的创立，使人们认识到数学是精神的创造物，为数学发展开辟了一个新世界: 人类可以利用自己的思维，按照数学逻辑要求自由自在进行思索. 它犹如画家进行色彩和形态的组合，音乐家音符的组合，诗人词汇的组合，小说家各种故事的组合，所不同的是数学是观念的组合. 由于自身的理由，而茁壮成长起来形成一种抽象的理论，因此，“数学是一门精神自然科学，其所研究对象和研究方式都是心灵的创造”——思维的自由翱翔. ④非欧几何的创立，是对已有数学定义——数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学——的挑战. 非欧几何许多结论与欧氏几何有矛盾，而两种几何，都是现客世界的产物，作何解释呢? 解释只有一种: 即几何学只是一种假设(或者按照F·克莱因的说法，变换不同). 数学世界是一种由假设(或思想)组成的世界，因为客观的东西不止一个心灵所共有的. 数学特别是现代数学，连罗素这样伟大的数学家、哲学家都感慨: 我们不知道它说的是什么，也不知道它所说正确与否. 其实，现代数学与实际意义无关，不必费心去证实一个数学定理是否与物质世界相符，只需考察它是不是通过正确推理就行了. 罗素的观点实际反映了数学家的正常心态. 现代数学所反映的与希腊时代的数学已大相径庭了.

自由的数学，摆脱了任何习俗，权威，能按照逻辑规范发展，这是世界上最平等，最民主的事业. 这种观念，直到19世纪数学界才真正形成.

不依靠任何经验、凭借思维智力，自由地创造出无现实背景的数学理论，根本改变了人们对数学与物质世界之间关系的理解，这无疑是人类思想的一次大解放.