物理学理于数学

物理学和数学之间的交融是一种传统，物理学中的问题，最后导致用数学来解决，不管是经典物理，现代物理还是量子物理都是如此. 经典物理学中的力学、热学、电磁学、光学中的规律，无不需要数学来描绘，用数学秩序来整理、概括、规范，使之更加深刻、普遍; 数学给物理学以工具，使物理焕发出斑斓的光彩.黎曼1860年在一次演讲中说: “只有在微积分发明后，物理学才成为一门科学.”没有物理学，数学也难以起飞. 从近现代数学发展来看，许多数学分支是源于对物理现象的研究才逐步形成的，以微分方程为例.

微分方程(常微分方程与偏微分方程)起源于17世纪物理学的探索，意大利科学家伽利略(G.Galilei，1564—1642)发现，若自由落体在时间t内下落的距离为h，则加速度h″(t)是一个常数，作为微分方程h″(t)=g的解而得到的落体运动规律h(t)=gt2，成为微方程求解的最早例证，同时也是微积分学先驱性工作.

牛顿(I.Newton，1640—1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz， 1646—1716，德国数学家、哲学家)创建微分和积分运算时，指出了两者之间的互逆性，也就是解决了方程y'=f(x)的求解问题，当数学家们运用微积分去研究几何、力学、物理学中所提出的问题时，微分方程就大量涌现出来.

利用微方程，容易证明开普勒(J.Kepler，1571～1670，德国天文学家、数学家)于1609～1619年所提出的行星运动三大定律:

ⅰ)行星绕太阳运动，其轨迹呈椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点处;

ⅱ)行星与太阳的连线，在相等的时间所扫过的面积相等;

ⅲ)行星运动周期的平方与轨道半长轴(行星到太阳平均距离)的立方成正比.

通常，把微分方程描述为函数及其各阶导数之间的关系. 如果函数只依赖于一个变量，它就称为常微分方程. 若方程的个数和未知函数的个数相等，就称为微分方程组. 如果方程组

其中t是实变量，f(t，u1，u2，…，un)是t与n个实变量v=(u1， u2，…，un)的函数.

当t落在开区间I内，而v∈V(V⊂Rn)有定义，且当t∈I时，存在可微函数u=υ(t) =(u1(t)，…，u2(t)，un(t))满足方程组(1.25)，则称u=υ(t)是这个方程组的解. 如果把函数u=υ(t)解释为一个系统在时刻t的状态，而其导数为状态的变化率，那么(1.25)式就是: 系统在给定时刻的变化率，只依赖于该时刻及此刻的状态. 因此式(1.25)就适合许多与时间t有关的问题(过程)，于是这个方程组就可描绘整个太阳系的运动.

更一般地说，任何力学系统都适合这样一个方程组，许多物理的、化学的和经济的过程都可纳入式(1.25)的模式之中，只要某一时刻的状态可以决定以后时刻的状态即可. 不过还要证明解的存在性与唯一性问题. 李雅普诺夫关于微分方程稳定性理论建立以后，对于微分方程论的发展和各种物理或力学体系中的振动问题都起巨大作用.

当微分方程中的未知函数是多元函数时，则称其为偏微分方程. 偏微分方程又叫做数学物理方程，这种方程特别适用于解决许多物理学方面的问题，这门学科也是在解决物理学、力学等的问题中发展成熟的.

偏微方程的解一般有无穷多个，但是在解决具体的物理问题时，必须从中选取所需要的解. 因此，还必须知道附加条件. 因为偏微方程是同一类现象的共同规律的表达式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，物理现象各个具体问题就在于研究其所处的特定条件，即初始条件和边界条件，例如，弦振动问题，弦有“拨动”或“拉动”等情况，所产生的振动情况也就不同. 而弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立. 所以在弦的两端必须给出边界条件(即边值).在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件. 作为具有定解条件的偏微分方程问题，必须先求出其通解，然后再用定解条件确定出具体函数.

偏微分方程分为: 双曲型偏微分方程、抛物型偏微分方程、椭圆型偏微分方程等. 许多物理问题的分析导致二阶线性偏微分方程，当这种方程具有2个自变量时，它有下面一般形式:

auxx+2buxy+cuyy+dux+euy+fu=g (1.26)

式中系数a，b，…f，g是x与y的已给函数.如果a2+b2+c2≠0，又b2-ac＞0，那么这个方程就是双曲型偏微分方程; 如果b2-ac=0，则这方程是抛物型偏微分方程; 如果b2-ac＜0，则说这个方程是椭圆型偏微分方程. 一般说来，描述声波、光波、电磁波的传播和弦振动、弹性体的振动等现象的微分方程，都是双曲型偏微分方程; 描述热的传导，带粘性的流体运动的微分方程，属于抛物型偏微分方程; 大凡一个物理现象，经较长时间后渐趋稳定，通常可用椭圆型偏微分方程来描述，比如牛顿万有引力定律、理想流体的流动，都是相当经典的椭圆型偏微分方程问题.

随着力学、物理学的发展，连续介质力学、电磁理论、量子力学、引力理论、规范场等各方面的基本规律，都被写成偏微分方程的形式. 在偏微分方程领域所获得的每一研究成果，几乎都可以迅速地在力学物理学中得到应用.

微积分创立至今，已有300多年的历史，而人们用了200多年的时间，在古典解的意义下去寻找微分方程的解(即在古典导数意义下求满足微分方程的解)，20世纪20年代后，人们开始在变分形式中或在等价的形式中，就是说在一定函数类中用求泛函极小值的方法去求解，从求古典解到求变分形式(广义)解的转化，偏微分方程的理论有着飞跃的进步. 这样，现代数学方法、函数空间理论、泛函分析、变分法和拓扑方法成了新的求解工具. 20世纪50年代以后，偏微分方程的重点转向非线性问题，随着电子计算机的发展，偏微分方程的许多问题可以通过数值计算来求解，微观的物理现象如“孤粒子”的研究，把偏微分方程的研究引向到现代偏微算子理论，由此发展起来的“计算力学”、“计算物理”都发挥着越来越大的作用，计算和直接模拟物理模型也成为重要的方法，偏微分方程的内容越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强.