对称性和守恒定律的联系是什么

对称性是人们观察客观事物形体上的特征而形成的认识。例如正六边形具有六角对称，一个平面圆形具有轴对称，人体具有左右对称，一条连续的花边具有平移对称，其他还有镜像对称等。这些对称性被看作自然界的一项美学原则，广泛应用于建筑、造型艺术和工艺美术中。物理学移植对称性概念用于研究物理规律的特征，并给以精确化，把它与变换联系起来。通常把两种情况通过确定的规则对应起来的关系叫作从一种情况到另一种情况的变换，例如旋转某一角度或旋转任意角度，平移一段距离或平移一段时间等都是变换的规则。对称性则定义为某一情形在某个变换下保持不变的性质。对称性意味着某种不可分辨性或不可测量性。例如物理规律具有空间平移变换对称性，表明空间没有绝对的原点，可以任意选择空间的一点作为坐标原点，物理规律保持形式不变。或者说绝对位置是不可测量的。同样，物理规律具有时间平移变换对称性，表明时间也不存在绝对的零点。

一、对称性与守恒定律关系的提出背景

为什么我们要关心对称性呢？首先，在人们的心目中，对称性是非常吸引人的。大自然也常常在我们周围所遇到的物体中显示出某种对称性来。如我们想象中最对称的物体是球体，而在自然界中就充满球体——恒星、行星、水滴等都是球形。而大多数动物是左右对称的，植物的对称性则更加多种多样，绚烂夺目。在岩石中找到的晶体也呈现出各种各样的对称性，对它们的研究使我们知道了有关固体结构的某些重要情况。但是，我们这里主要关注的不是自然界的物体往往是对称的这个事实，我们更希望考察宇宙中的一些更引人注目的对称性，即存在于支配物理世界运转的基本定律自身中的对称性，尤其是需要知道对称性与守恒律之间的关系。19世纪以前，物理学规律大都通过大量的实验观察、数据整理、数学归纳等方法获得，而这样获得的规律只是暂时正确的，因为只要下个时刻下一位研究者的实验与前面的规律不符，这个规律就有否定的危险。我们不禁要问：有没有可能不依赖实验只从物质结构的一般形式以及它们随空间、时间变化的某些特征出发经数学推导得出自然的一般规律呢？答案是肯定的。18世纪中叶，力学家和数学家致力于寻找一种比牛顿定律更广泛、更简便的普遍原理。他们把虚功原理和最小作用原理发展为数学上的变分方法，并且引入广义坐标的代数方法，形成了分析力学的基本框架。在分析力学中，由虚功原理和达朗贝尔原理相结合而得到拉格朗日动力学方程，进而推广为自由参数的一般动力学方程——拉格朗日方程。分析力学的积分形式是从莫泊丢的最小作用原理出发发展起来的变分原理。英国人哈密顿利用拉格朗日函数对时间的积分定义了作用量的概念，即S=。哈密顿断言系统在任意两个时刻之间发生的真实运动是使这个作用量的数值在这段时间内获得最小或者最大的运动，即δS=。这样，分析力学把力学问题变成了数学变分问题。1918年德国数学家艾米·诺特（A．E．Noether）在此基础上提出了著名的诺特定理。该定理指出作用量的每一种对称性都对应一个守恒定律、有一个守恒量，从而将对称和守恒性这两个概念紧密地联系在一起。简言之，物理定律的一种对称性，对应地存在一条守恒定律。例如，运动定律的空间平移对称性导致动量守恒定律，时间平移对称性导致能量守恒定律，空间旋转对称性（空间各向同性）导致角动量守恒定律。上述经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺特定理后来经过推广，在量子力学范围内也成立，并且从物质的某种对称性出发寻找物理规律成了现代理论物理研究的基石。典型的事例有，对SU（3）群以及相关对称性成功的追根溯源而发现了几个基本组分——夸克的存在；极化Λ超子弱衰变中的上下不对称（或者说极化Λ超子弱衰变中宇称对称性被破坏）导致弱相互作用中宇称不守恒。

二、能量的空间平移对称性与动量守恒定律

设一个孤立系统由两个相互作用着的粒子组成，两粒子的位矢分别为r1和r2，而系统的相互作用势能为Ep（r1，r2）。对系统进行一个平移量为Δr的操作后，两粒子的位矢分别变为r1+Δr和r2+Δr，而系统的势能为Ep（r1+Δr，r2+Δr）。由于系统具有空间平移不变性，故有

Ep（r1，r2）=Ep（r1+Δr，r2+Δr）（16-1）

满足式（16-1）的函数形式只能为Ep（r1-r2）。两粒子相互作用力F1和F2分别为

F1=-∇1Ep（r1-r2）（16-2）

F2=-∇2Ep（r1-r2）（16-3）

由于

∇1Ep（r1-r2）=-∇2Ep（r1-r2）（16-4）

故有

F1+F2=0（16-5）

利用F1=和F2=，得到

即

p1+p2=恒量 （16-7）

式（16-7）即是动量守恒表达式。这样，我们从能量满足空间平移对称性这个对称关系出发导出了动量守恒定律，因此我们可以说一个对称性对应一条守恒定律。

三、能量的时间平移对称性与能量守恒定律

在描述系统状态的空间即相空间中，对于力学系统，若系统有S个自由度，系统的总动能T可以表示成广义动量的函数T=Ek（p1，…，ps，t），系统的总势能U可以表示成广义坐标的函数U=Ep（q1，…，qs，t），系统的哈密顿函数为

H=T+U=H（q1，…，qs，p1，…，ps，t）（16-8）

即系统的哈密顿函数就是在相空间中系统的总动能与总势能之和，也就是系统的总能量。式（16-8）中显含时间t表明系统的总动能和总势能可能还是时间的显函数。对于做机械运动的系统，哈密顿函数就是系统的机械能。

当系统具有时间平移对称性时，系统运动从t时刻经历了一个时间历程Δt，则t→t+Δt时系统的状态应保持不变，也即系统的哈密顿函数H应该在时间平移变换t→t+Δt下保持不变，对于任意Δt，有

H（t）=H（t+Δt）=H（t+εΔt）（0＜ε＜1）（16-9）

对于小的时间平移Δt，在t附近根据泰勒公式展开

将式（16-9）代入式（16-10），由于Δt很小，得

又由于Δt的任意性，式（16-11）成立的条件只能是

即H（t）的1阶，2阶，…，n+1阶导数都等于零，取k=1，得

故有

H（t）=T（t）+U（t）=恒量 （16-14）

式（16-14）即是能量守恒表达式。

四、现代物理中的对称性与守恒定律

诺特在1918年发现诺特定理后，物理学家们已经形成了这样一种思维定势：只要发现了一种新的对称性，就要去寻找相应的守恒定律；反之，只要发现了一条守恒定律，也总要把相应的对称性找出来。在现代物理中，对称性（symmetry）成为一个核心的概念。它泛指规范对称性（gauge symmetry）、局域对称性（local symmetry）和整体对称性（global symmetry）。它是指一个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性。如果这些变数随时空变化，这个不变性称为局域对称性，反之则称为整体对称性。物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性。

数学上，这些对称性由群论来表述。上述例子中的群分别对应着伽利略群、洛伦兹群和U（1）群。对称群为连续群和分立群的情形分别称为连续对称性（continuous symmetry）和分立对称性（discrete symmetry）。德国数学家威尔（Hermann Weyl）是把这套数学方法运用于物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。

20世纪50年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式，并构造了核作用的SU（2）规范理论。从此，规范对称性被大量应用于量子场论和粒子物理模型中。在粒子物理的标准模型中，强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用的规范群分别为SU（3），SU（2）和U（1）。除此之外，其他群也被理论物理学家广泛地应用，如大统一模型中的SU（5），SO（10）和E6群，超弦理论中的SO（32）。

这些理论的创立将物理学中“对称”的重要性推到了前所未有的高度。1926年，又有人提出了宇称守恒定律，把对称和守恒定律的关系进一步推广到微观世界。宇称守恒理论的确在几乎所有领域都得到了验证——除了弱力。我们知道，现代物理将物质间的相互作用力分为四种：引力、电磁力、强力和弱力。在强力、电磁力和引力作用的环境中，宇称守恒理论都得到了很好的验证：正如我们通常认为的那样，粒子在这三种环境下表现出了绝对的、无条件的对称。在普通人眼中，对称是完美世界的保证；在物理学家眼中，宇称守恒如此合乎科学理想。于是，弱力环境中的宇称守恒虽然未经验证，也理所当然地被认为遵循宇称守恒规律。

但是20世纪50年代，被称为“θ-τ之谜”的现象让学者们困惑良久。科学家们从宇宙射线里观察到两种新的介子：θ和τ。这两种介子的自旋、质量、寿命电荷等完全相同，很多人都认为它们是同一种粒子。但是，它们却具有不同的衰变模式，θ衰变时会产生两个π介子，τ则衰变成三个π介子，这说明它们遵循着不同的运动规律。1956年，李政道和杨振宁在深入细致地研究了各种因素之后，大胆地断言：τ和θ是完全相同的同一种粒子（后来被称为K介子），但在弱相互作用的环境中，它们的运动规律却不一定完全相同。后来，李政道和杨振宁共同提出了弱相互作用下宇称不守恒，他俩也因这个论断及其证明被授予1957年的诺贝尔物理学奖。

总之，在物质运动基本规律的探索中，对称性和守恒定律的研究占有重要的地位。从历史发展过程来看，无论是经典物理学还是现代物理学，一些重要的守恒定律常常早于普遍的运动规律而被认识。质量守恒、能量守恒、动量守恒、电荷守恒就是人们最早认识的一批守恒定律。这些守恒定律的确立为后来认识普遍运动规律提供了线索和启示。对称性和守恒定律之间的联系，提供了从分析对称性入手来研究守恒定律的方法。