符号化意识的培养

第二节　符号化意识的培养

数学思想方法的一个特点，就是大量使用具有特定涵义的形式化的数学语言，这种语言，既用来表达数学的思想方法，也是人们进行数学交流的信号。数学符号就是这种语言的集中表现。它使得数学思维过程更准确，更规范，更概括，更简明。

培养学生的计算能力，逻辑思维能力和空间想象能力都离不开符号操作，而各类考试也以符号操作为其表达手段，但若把符号操作放在过于突出的位置，则有碍于数学教学目的的全面实现。

培养学生良好的数学符号意识成为引人注目的课题，下面结合中外数学教育的情况，对数学符号意识（有时简称符号意识）的意义和要求作一探讨。

一、数学符号意识有待发展

符号意识是比单纯的符号操作更高层次的数学素质，发展符号意识，是根据数学教学的目的，培养人才的需要而提出的。

1.走出教学的误区，重视意识培养

学生从开始学习代数时起，就经常与数学符号打交道，尽管接受了有关符号操作的反复训练，而计算错误却屡屡发生，更对符号缺乏深刻的理解和灵活的运用。专家们认为这是由于学生缺乏符号意识所致。因此，培养学生良好的符号意识成为当前数学教学的迫切任务。

热衷于符号操作是数学教学的一个误区。机械化的练习使学生在呆板的操作过程中忘了符号本来的意义，这就把数学的精髓也丢掉了。我们要走出误区，提倡对符号的认识、理解和使用。

2.符号意识是良好的数学素质之一

我们所说的符号，是数学符号的泛指，既有性质符号，又有运算符号；既指与数学概念及专用术语相关的记号，又指表述各种数学对象相互关系的符号。

数学符号既是数学学习的重要内容，又是数学应用的重要工具，人们借助它思考数学问题，交流研究成果，进行抽象与概括。

在数学教学中，我们要全面利用符号的工具作用，提倡深刻理解，少搞死记硬背；提倡灵活运用，少套步骤程式。

3.符号意识的基本成分

对于符号意识的基本成分，人们尚未形成全面一致的见解。Fey提出的见解，有较好的参考价值。符号意识应包括：

（1）认识与鉴别能力

对于以数学、图象表示的数学模式，能粗略估计其分析表达式，鉴别以某个法则表示某个模式是否恰当。理解符号的意义，了解同一个符号在不同问题线索中的不同意义，对符号功能的理解和评价，对符号所反映的数学美及其魅力的鉴赏。

（2）估算能力

对以某种符号法则表示的某种函数，如幂函数，能对函数值作出非正式的估计与比较；对符号进行正确的操作，知道什么时候应该用什么符号以及如何使用；运用符号的机敏性与灵活性，能选择更合适的方式，更优雅的解法。

（3）验算与预告能力

对运算结果作一算术估计，或对已进行的运算的正确性作出判断。对符号操作的评估与监控，检查符号在操作过程中的意义，并与期望的结果作对比或比较。

（4）选择能力

对一个特定问题，从几个等价的解答形式中确定最合适的形式。

以下我们从理解阅读能力，鉴赏能力，探究能力，选择能力和运用能力来阐述发展学生符号意识的问题。

二、数学符号的阅读与理解

数学是由大量概念和命题构成的符号体系。由于符号的抽象性，使学生的学习增加了困难，如果回避这一困难，而对符号的意义和作用缺乏理解，则对以后的学习构成更大的障碍。

1.理解符号的意义

著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“学生必须有意识地使用代数语言，不仅会使用公式，还要知道为何这样用而不那样用，否则代数将成为无意义的游戏。”事实上，他的话对其他数学符号的学习也有同样的意义。

理解数学符号的意义应包括：了解符号引入的必要性与优越性。理解与符号相关的数学概念，明确使用该符号的条件，等等。

2.说明符号的内涵

数学符号比文字语言更简洁，更概括，它的丰富内涵没有由符号本身明示，而要另用文字语言叙述。因此，教师要经常引导学生从具体现象概括为用符号表示，又从形式符号回到其具体内容。解释说明数学符号包含两重意义，其一是符号与文字（或口头）语言的互译，其二是说明新旧相关符号的关系，例如指数符号与对数符号的关系，等等。

3.领悟符号暗示

数学符号本身常含有对运算方法的指示，甚至含有对运算结果的暗示。帮助学生形成认真阅读符号的习惯，从中尽可能获得丰富、准确的信息，就能摆脱单纯符号操作的盲目性。

4.排除符号的迷惑

对旧符号的旧理解可能会给对新符号的理解和使用带来干扰和迷惑。例如有些学生学习对数符号log_c（a＋b）时，就会受到代数运算律c（a＋b）＝ca＋cb的干扰，而误认为log_c（a＋b）等于log_ca＋log_cb。教师要帮助学生弄清新旧符号的区别，并通过利用特殊值来验证，排除学生的误解。良好的符号意识应包括及时检查错误，纠正错误的健康习惯。

阅读、检查、反思、排惑，树立警觉性，不要在符号错觉中误入迷途，这是符号意识的重要方面。

三、数学符号的鉴赏与体会

数学符号与意识，应超越于对符号的记忆、解释及常规运用，应包含对其精美、其魅力及其威力的鉴赏，还应包含借助于符号去欣赏数学美的能力。

1.数学符号的简洁美

利用数学符号，能排除歧见，以简洁的形式准确地表示结果。

2.数学符号的统一美

借助于数学符号，能沟通一些不同对象之间的内在联系，使之在形式上得到统一。例如，利用圆锥曲线的极坐标方程，把椭圆、双曲线、抛物线的方程在形式上统一起来。借助于负指数、分指数符号，可使整式与分式，有理式与无理式，在某程度上得到统一表示。

3.数学符号的含蓄美

在数学教学中，教师要不断带引学生鉴赏数学符号所隐含的美的构思，美的形象。例如积分号∫就是英文Sum（和）第一个字母的长写，如能与分割求和的积分思想联系起来，就能欣赏到这个符号的深刻含义。

四、数学符号的探究与发掘

通过适当操作，可发掘数学符号的深层含义，借助适当的符号，又能探究数学问题的未知规律。

1.发掘数学符号的新含义

例如某奇数的平方减去1，所得结果会是什么数？设该奇数为2n－1（n是自然数），学生们有如下认识过程：

（1）（2n－1）²－1＝4n²－4n，得数为4的倍数；

（2）原数＝4n（n－1），得数为8的倍数；

（3）原数＝，可见另一个因子恰为自然数列前n－1项之和，又可计为，是一个二项式的系数，西方称之为三角形数，等等。在以上获取新意义的过程中，学生能分享喜悦，增强信心。

2.探究数学问题的新规律

良好的符号意识应包括能利用合适的符号去探索规律，验证猜想，这也正是数学符号威力之所在。

五、数学符号的恰当选择

利用数学符号表示问题情景时，应注意选择恰当的符号和合适的表示方式。

1.选好符号，以表示更多的信息

同一个量，可用不同的符号来表示，但效果却不一样，如上面的例子，若用n表示奇数，则奇数平方减1可写成（n＋1）（n—1），虽然我们能说明此时（n＋1）（n－1）是8的倍数，但一般学生不易直接看到这个结果。可见用2n－1表示奇数，能直接显示更多的信息，从而更好地揭示奇数平方减1的结构。

2.择好方式，以更好地表示信息

恰当地选择未知数，以及使用恰当的表示方法，对解题效果大有影响。

良好的符号意识应包括：选择符号的恰当性与灵活性，使之有利于简化计算并获得结果；选择符号的机敏性与果断性，能放弃无益的选择；具有对符号选择合理性的预感。

六、数学符号的灵活运用

利用符号解决问题是符号意识的核心，这种意识的形成要逐步积累，以美国某高中线性代数教学课例说明运用符号的认识过程。

某市市区每年有5%人口迁到郊区，而郊区每年有3%的人口迁到市区。以r₀，s₀分别表示该市市区、郊区人口数，试研究相邻两年间市区、郊区人口的关系，并探讨人口发展的趋向。

分析：以表示该市初始年市区、郊区人口向量，据题意，可设立人口迁移矩阵，如用表示第k年人口向量，那么，相邻两年人口关系可表示为矩阵形式x_k＋1＝Mx_k。

1.由错误的符号到正确的符号

学生使用符号难免有错，只有当他们弄清错误原因时，他们对符号的意义才有更深刻的认识。

由上面的例子，最初有学生用线性变换方式表示相邻两年人口关系为

经过教师提醒，学生相互讨论，他们发觉（1）式左边下标有误，应把r₀，s₀改为r₁，s₁，而且（1）式只表示前两年之间人口关系，欠一般性，应改为

这种运动，为矩阵表示法作好了准备。

2.由具体的符号到抽象的符号

对符号的认识，有个逐渐抽象的过程，如前面的例子中，为了探讨人口变化趋势，教师提问：若开始时市区迁出人口多于迁入人口，是否市区人口会递减到零？

学生商定，假设最初市区、郊区人口都为100万，并理出表格观察人口变化趋势。一直往下计算，学生会赶到厌烦，此时，向量的迭代表示法及矩阵记号就呼之欲出了。

3.由特殊符到一般符号

为寻找一般规律，教师又问：能否找到这样的初始情况，使得经过一年，人口变化最多承上一个比例因子？即，其中a为常数？

经过初等计算，学生发现，当r₀∶s₀＝3∶5时，这个比例因子存在，切恰好为1，意味着此时市区、郊区人口流向稳定。

经过更深入研究，师生提出猜想：无论初始人口为何值，都有r₀：s₀=3：5，为了证实上述猜想，特征值记号及对角线方法就应使用了。

事实上，记a＝0.95，b＝0.97，则公式（2）可用矩阵表示为

则可证得r_k/s_k─→（1－b）/（1－a），回到原来特殊值，得r_k/s_k─→3/5，从而猜想得到证实。

以上教学过程中，教师并没有规定学生使用什么符号，而是诱发他们的好奇心，观察他们自然的学习行为，直到他们赶到使用更一般符号的必要时，合适的符号才被提出来，这是培养学生符号意识的良好途径，也是启发式教学的一种方法。

上述各项尚待详细阐述，而且良好的符号意识页不只上述所列，但无论如何，它们可以作为符号教学的较高要求。

七、符号意识的阶段发展

学生数学符号意识的形成与其知识、能力的发展有关，也与其运用符号的经验有关。教师要了解学生符号意识形成的现状，才能有的放矢地进行符号教学。

学生数学符号意识的发展大致经历以下几个阶段。

1.启蒙与模仿阶段

认识一些具体的数字符号，少量运算符号和关系符号，能模仿课本的例题及教师的示范进行简单的符号操作。例如2³＝8，3²＝9，3²＞2³等等。低年级学生多处于这种认识阶段。

2.抽象与探索阶段

能用字母表示不同的数，对性质符号、关系符号、逻辑推理符号等有初步认识。具有初步的抽象概括能力，能用实验归纳进行简单的猜测。

3.推理与联系阶段

随着符号的积累与丰富，学生能探索数学符号的涵意，以及符号之间关系，能用不同方法，不同符号解决同一问题。能用符号进行推理。

4.活用与评价阶段

能形成自觉需要，不断优化符号选择及运用，具有良好的符号直觉及对操作结果的预感，能对操作过程及结果作出正确评估。

符号意识的发展是不平衡的，因人而异的。就某个学生而言，他对某些符号可以运用自如，而对另一些符号的认识可能仍处于初始阶段。

八、符号错误的成因探析

学生在符号操作中的大量错误令教师感到头痛，屡禁不止，防不胜防。事实上，并不存在防治所有错误的灵丹妙药，教师要通过细致的分析观察，帮助学生认识错误之所在，加深他们对符号和算理的认识，才能产生防错改错的能力。学生在符号操作中出现错误主要以下原因。

1.盲目操作

由于对操作的原理和规律认识不清，或者操作目的不明、方向不清，从而产生种种错误。如在三角式变换时，或在解方程时，常对所操作的式子进行漫无目的变换，有时越变越复杂，有时也许绕了一圈，重返原状，从而使操作徒劳无益。

2.符号干扰

进行操作时，受到相关或类似的其它符号的干扰而致错。如在研究反三角函数问题时，常受到三角函数符号的干扰，从而产生模糊的甚至错误的认识。又例如，同一个问题中的两个符号也会互相产生干扰。

3.信息失真

未能全面领会或正确领会问题的条件信息，从而不能正确运用符号解决问题。

4.联系受阻

为了使问题易于求解，有时要对它进行变换，如果找不到符号的联系，则难以获得进展，这种情况称为联系受阻。

在数学教学中，要培养学生预想、估计、反思、检验的良好学习习惯。从而形成符号操作的自我纠正能力。

九、符号意识应长期培养

良好的符号意识有赖于经验积累、视野扩展和能力锻炼。因此，应及早开始培养，并且长期坚持。

1.在算术中引入代数符号

算术中的有关法则可用代数符号表示，这样学生从低年级起就可欣赏到符号的威力。

2.用符号揭示意义和结构

设计适当的问题线索，使学生及早用符号进行抽象与概括。

3.研究同一个符号的不同意义

例如在表达式y＝kx＋b中，随着那个符号表示常量，那个符号表示变量，其意义是不同的。所以要在具体的实践操作中具体对待，实现对符号的灵活运用。

十、符号能力宜综合训练

要树立学生对个人运用符号能力的自信，使之能用多种方式加深对符号的理解。

1.鼓励学生自己接通联系

学生有时会忘记的某些意义，但他们或许能在另一些方向上接通联系。如果教师匆忙代替，也许剥夺了学生自我锻炼的机会。

2.重视非正式信息的作用

教师要善于指导学生探索符号的隐含信息，尽管这些信息是非正式的，然而，在探索中能提高学生对符号的认识能力。

3.在非常规问题线索中提高符号运用能力

设计适当的问题线索，特别是非常规问题线索，有利于学生提高运用数学符号能力。