整体化意识的培养

第四节　整体化意识的培养

整体和局部，是人们对事物认识的两个方面，整体问题有时要分为各个局部来研究，局部的性质有时能反映整体的性质。某些局部性质，对整体性质还能起决定作用。例如，研究函数的性质时，某些函数的极值点，拐点，虽然只反映该函数的局部性质，然而，对把握函数的变化趋势，却能起到关键作用。反之，整体还具有其局部所不具备的性质，例如，复数可分为虚部和实部，实数可比较大小，虚部系数亦可比较大小，但两个复数之间却不能比较大小。正确认识局部和整体的关系，对发展学生的辩证唯物主义数学观，培养学生的解决问题能力，有重要的教育价值。

一、在概念与命题教学中培养整体意识

1.把教学目标视为一个整体

课程目标所示的教学目标和要求，不是一系列单个教学目标和要求的叠加，也不能逐个孤立地落实和完成。它们是统一的、不可分割的整体。在基础知识、基本能力和数学思想方法三大范畴的教学要求之间，在代数、平面几何、立体几何、平面解析几何等分科之间，在各类数学思想方法之间，都存在极为密切的联系。在数学教学中，不能把某个目标，某项内容与其它目标，其它教学内容孤立、分割开来，只有不断深化对整体观点的认识，突出数学的内在联系，才能保证教学目标的整体实现。

为此，在备课时，教师先要进行整体性备课，即先通读大的教材，弄清每个学期、学年以至整个中学数学的教学目标和要求，然后，把每章、节的教学要求置于整体教学目标和要求中，这才能保证整体教学目标的逐步实现。

2.在概念教学中培养整体意识

（1）揭示概念之间的联系

数学概念和数学概念之间存在种种关系，如相容关系与不相容关系，相容关系中又有同一关系、包含关系和交叉关系，不相容关系又包含对立关系和矛盾关系等。弄清概念间的关系，它们的共性和个性，它们之间的联系和转化条件，是培养整体意识的重要途径。

（2）把握概念的发展线索

数学概念的发展反映了数学自身的需要，也反映了科学技术发展的要求。例如，数的概念包含了一系列子概念，如自然数，整数，有理数，实数，复数，等等。数概念的每一次扩张，都能解决数学自身的一些矛盾，扩张后的数系保持了原数系的许多性质，又具有一些原数系不具备的性质。如果在数的概念的教学中，教师能适当揭示数学发展的某些矛盾，使学生了解数系扩张的需要，这样，既能加深学生对数的概念的理解，又能全面把握数的概念发展的脉络，这对于培养学生的整体意识，帮助学生掌握数学的思想方法，能产生积极的作用。

（3）重视数学概念的整体性质

整体性质未必是局部性质的概括，更未必是局部性质的叠加。例如，数列的性质不仅体现在它的各项中，更体现在它的项与项的相互关系中。因此，通项公式前n项和的公式，都是数列整体性质的体现。又如，关于复数的模的研究，共轭复数的性质，以及与此有关的一系列公式，都反映了复数集的整体性质，它们不是个别复数所能具有的。又如，整数集与数轴上的整点集一一对应；有理数集与数轴的有理点集一一对应，但有理点集在数轴上的分布具有稠密性，这是整点所不具有的；同样，实数点在实数轴上的分布具有完备性，这又是有理点集所不具备的，复数集包含了实数集，但复数集具有无序性，这是复数集所特有而异于实数集的性质。

因此，在数学教学中，要帮助学生正确把握概念的整体性质。

3.在命题教学中培养整体意识

数学命题由条件、结论两部分构成，条件与结论之间以某种推理链联系着，从而构成了一个具有因果关系的整体，利用命题可以揭示有关数学对象的性质，或者数学对象之间的关系。概念与命题共同构成了推理的网络，从而体现了数学的整体性质。

（1）重视命题的整体把握

在教学中，要全面地把握命题的条件和结论，了解其因果关系和整体结构，例如，要研究命题的条件对于结论而言是否充分的，还是必要的；是否充分必要的，还是非充分非必要的。如果命题的条件对于其结论而言是充分必要的，那么，命题的条件和结论就实现等价，从而可以相互替换。

要注意研究公式成立的条件，公式的变形和转化，以及公式的某些特例，从整体上把握公式的运用。

（2）探索命题之间的关系

数学命题之间存在多种联系，如蕴涵关系，等价关系，等等。对命题间关系的探索研究，有助于揭示数学内容之间的内在联系，能体现数学的整体性和统一美。

二、在解题教学中培养整体意识

解题结构的优化，取决于对己知条件的整体、综合运用的程度，取决于对题意的整体把握程度，当然也取决于对求证（解）结论的理解和分析的程度。不少学生对题意的理解，对条件的利用往往是片面的、孤立的和局部的，从而使解题的过程冗繁多错，因此，在解题教学中，要积极培养学生的整体意识，从而探索更优美的解法，更好的解题效果。

1.重视对研究对象的整体现象

一些问题如从局部考虑或逐一考虑，则计算复杂，但如从整体把握，则能略去繁琐细节，反而容易找到解题捷径。

2.抓住求解对象与已知条件的整体关系

问题的条件与求解对象间，必然存在某种关系，把握好这种关系，容易找到解题途径。

3.把握条件的整体性质

局部与整体是一对矛盾，对已知条件的每个部分进行剖析，有时能体会已知条件的整体性质，有时又应对已知条件作整体考虑，才能优化解题程序。