非线性混沌电路

时间：2022-02-13 理论教育版权反馈

【摘要】：混沌研究表明，绝大多数非线性动力系统既有周期运动，又有混沌运动。本实验研究RLC非线性电路的混沌现象。研究相量图随非线性RLC回路电阻的变化，观察倍周期分岔、阵发混沌和奇怪吸引子，记录UL—UC1相量图和UC1波形图，用数字万用表测出对应的W1＋W2阻值。由于加在R上的电压增加时，电流减少，故称为非线性负阻元件。非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等非线性现象。NCE-1型非线性混沌实验仪电路如图6-45-9所示。

实验45　非线性混沌电路

描述自然界有两种途径：决定论描述和概率论描述。牛顿力学是决定论的典型代表，认为给定系统运动方程和初始条件，就可以确定以后任何时刻的运动状态；如果初始条件有极小偏差，其结果偏差也极小，系统行为是确定的。统计物理和量子力学是概率论的代表，揭示了大量微观粒子的随机性和统计规律。20世纪60年代以来，人们用大型计算机研究非线性问题，如大气层中的湍流问题等，发现了非线性动力系统存在“不确定行为”——混沌现象。混沌现象的出现，缩小了决定论和概率论之间的鸿沟。混沌研究表明，绝大多数非线性动力系统既有周期运动，又有混沌运动。

混沌（chaos）是非线性动力系统在一定参数条件下产生的对初始条件具有敏感依赖性的随机运动。混沌运动的根本原因是运动方程的非线性；混沌运动具有内在随机性，对初值非常敏感，若两次运动的初值有微小差别，长时间后两次运动会出现较大的、无法预知的偏差，即所谓“差之毫厘，谬以千里”。混沌现象是自然界的普遍现象，无处不在。本实验研究RLC非线性电路的混沌现象。

【实验目的】

（1）研究非线性LC振荡电路的特性和产生混沌的条件；

（2）了解混沌现象的基本性质和混沌产生的方法；

（3）测量有源非线性电阻的I—U特性。

【实验任务】

（1）研究相量图随非线性RLC回路电阻（混沌实验仪的W₁、W₂）的变化，观察倍周期分岔、阵发混沌和奇怪吸引子，记录U_L—U_C1相量图和U_C1波形图，用数字万用表测出对应的W₁＋W₂阻值。

（2）当出现奇怪吸引子时，微调W₂，观察和描述吸引子的形状与尺寸发生的变化，理解非线性RLC电路对初始值十分敏感的特点。

（3）把有源非线性负阻元件R与C₁断开，用伏安法测量非线性单元电路的伏安特性，作I-U曲线。

图6-45-1　RLC非线性电路

（4）改变C₂和C₁参数，研究电容参数对产生混沌的影响，观察和描述现象，测量倍周期。

【实验研究方法】

图6-45-2　负阻元件I-V

1.非线性电路方程

如图6-45-1所示，电感L与电容C₂组成一个消耗可以忽略的振荡回路；可变电阻W₁＋W₂和电容C₁串联将LC₂振荡产生的正弦信号移相输出；R是一个有源非线性电阻。图6-45-2是电阻R的伏安特性，一个分段线性的非线性元件。由于加在R上的电压增加时，电流减少，故称为非线性负阻元件。非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等非线性现象。

由电路节点电流关系和电压关系，得到电路的状态方程为：

由于包含非线性电阻R，（6-45-1）、（6-45-2）和（6-45-3）式是非线性方程组。式中，G是电阻W₁＋W₂的电导，G＝1/（W₁＋W₂），g是非线性电阻R的电导，g＝1/R，U_C2、U_C1是电容C₂、C₁的电压。

2.有源非线性负阻元件R的实现

实现有源非线性负阻元件R的方法较多，本实验采用一种较简单的电路，用两个运算放大器（TL082双运放）和6个电阻来实现，如图6-45-3所示，其伏安特性如图6-45-4所示。

图6-45-3　有源非线性负阻元件

图6-45-4　有源负阻元件I-V

3.混沌现象的产生与判断

大家知道，运动系统的状态是由位置和速度确定的，因此以位置X为横坐标、速度v为纵坐标得到平面相图，利用相平面内的相轨迹曲线可以直观地了解系统的运动特性。广义地讲，相图就是某物理量的微分与该物理量的关系图，如V—X（速度—位置）相图，相图。

图6-45-5　倍周期分岔时域图和相量图

图6-45-3所示的非线性电阻是有源的，接上工作电源就有电流输出，故其I-U特性曲线可用图6-45-8来测量。其中，R为待测有源非线性电阻，W为电阻箱，改变W，则改变R对外的输出电流。电压表和电流表用数字万用表电压挡和电流挡代替，注意电流方向。

图6-45-7　奇怪吸引子

图6-45-8　测有源电阻I-U特性

【仪器简介】

双踪示波器SS-7802，NCE-1型非线性混沌实验仪，数字万用表（或直流电流表）1只。

图6-45-9　RLC非线性电路混沌实验仪电路

NCE-1型非线性混沌实验仪电路如图6-45-9所示。参数如下：L＝16mH，C₂＝100nF，C₁＝10nF，W₁＝2kΩ，W₂＝100Ω。

使用方法如下：

（1）将电源九芯插头与实验仪右上角的九芯插座接好，开启实验仪右上角的钮子开关，对应的±15V电源指示灯亮，表明电源接通。

（2）实验仪中上部钮子开关为0～19.999V直流数字电压表的电源开关。开启钮子开关，数字电压表显示屏亮，用于测有源非线性电阻I-U特性曲线。

（3）观察相量图时，实验仪面板上的CH2输出端（U_L）接示波器Y输入，CH1输出端（U_C1）接示波器X输入。先将W₁（粗调）和W₂（细调）调到最大（顺时针调到底），按示波器键，然后缓慢调小W₁，直到出现1倍周期相量图（见图6-45-5），按键关闭CH1通道，使相量图更清晰；此时按示波器键，观察1倍周期相量图对应的实验仪面板上CH1（U_C1）的波形，测出周期。再按示波器键，出现相量图；缓慢调小W₂，观察2倍周期、3倍周期、4倍周期、单吸引子和双吸引子等相量图；按示波器键，观察对应的实验仪面板上CH1（U_C1）的波形。