非线性混沌理论

第二节　非线性混沌理论

混沌是当代科学研究的热点，被誉为继相对论和量子力学后20世纪基础科学的第三次革命。与相对论和量子力学不同，混沌不仅适用于大到宏观的天体，小到微观的粒子，而且适用自然科学甚至渗透社会科学的各个方面。混沌理论是数学科学中一门年轻的分支，自理论创立，在科学界广泛被认同，至今只有几十年时间。但由于这一理论对传统科学观提出的挑战和它对自然科学、社会科学的普适性，从诞生之日起就立刻受到关注，其中生命科学被认为是混沌理论应用前景最为美好的领域之一。

一、混沌理论的创立

300年以前，自然科学的研究主要靠经验积累，发展速度受到限制。1686年牛顿《自然哲学的数学原理》的出版，使科学研究的方法学产生了根本的转变，标志着科学冲破经验积累的束缚，进入了用数学方法求索物理机制的崭新阶段。牛顿理论宣布了物质的运动受某些普遍规律的物质原理所支配。如著名的万有引力定律，天文学家曾用它预测卫星和行星轨道，1846年通过数学计算，人类发现了海王星，但在海王星发现时遇到的所谓“三体”问题，对曾历久不衰的牛顿学说提出挑战。以法国数学家Poincare为代表的一批科学家发现了太阳、月亮和地球三者的相对运动(即“三体”问题)不同于单体和二体问题，无法求出精确的解。1903年Poincare在《科学与方法》一书中提出了Poincare猜想，指出“三体”问题中，在一定范围内，其解是随机的，意味着可能存在混沌的特性，从而成为世界上了解混沌存在可能性的第一人。

1948年，Lorenz在麻省理工学院进行一项创新性气象理论实验时，发现了现在被称为混沌的现象，1963年他在《大气科学》杂志上发表了一篇关于混沌理论的开创性研究论文“Deterministic nonperiodic flow”，在引起气象学界的热切关注后，又封存了12年之久，终于在整个科学界引发了研究热潮，由此诞生了一门新兴学科。

二、混沌的概念

在传统意义上，混沌一词多用于描述事物混乱无序和杂乱无章的“混沌”或“浑沌”状态。现代意义上的混沌称谓由Li·Yorke(李·约克:美籍华裔数学家李天岩和美国数学家J．A．yorke)首先提出。1975年Li·Yorke在美国Amermathmonthly发表“Period three implies chaos”(周期三意味混沌)的文章，并给出混沌的数学定义，现被称为Li－Yorke定义。自此，混沌被赋予科学的概念，成为科学的专业术语。

有学者归纳科学界对混沌定义的几种理解:①随机过程引起的无序状态，或专门指决定论系统中的内在随机性。②周期3意味着混沌。③如果系统似乎作无规律运动，但系统的基础内动力不变、没有外加干扰、个别结果敏感地依赖初始条件、其长期行为具有不可预测性，这个系统就具有混沌。

总之，科学意义上的混沌不是简单的无序和混乱，而是没有明显周期和对称，但却具有丰富内层次的有序状态。诺贝尔物理学奖获得者I．Prigogine(普利高津)曾概括地指出，混沌与有序同在，混沌系统中，有序通过自组织过程，从无序和混沌中自发产生出来。

三、混沌的特征

在物质世界中，广泛存在非线性系统，它包括周期、非周期(随机)和混沌(介于二者之间)行为，而混沌目前被认为是非线性系统的主要行为。混沌是复杂的，像复杂性一样，混沌也具有不规则性，但一般复杂性指空间上的不规则性，而混沌则意味着时间节律上的不规则。只有在时间序列的动态变化中，混沌的特性才能表现出来:

(一)对初始状态的敏感依赖性(Sensitive dependence)　初始状态(自变量)的变化，导致后续状态(因变量)成比例的变化是线性系统的特征，而非线性系统(Nonlinearsystem)的初始状态变化未必导致后续状态成比例的变化。混沌属非线性系统，并且系统中初始状态的微小变化导致非常显著的后续变化，后续状态对初始状态的这种特殊依赖关系，称为“对初始状态的敏感依赖性”，即所谓“蝴蝶效应”。

(二)非周期性(Nonperiodic)　在混沌的系统中，大多数初始条件会引出非周期行为，因此非周期行为被认为是混沌的基本特征;但混沌的非周期性不同于随机行为那样完全没有规律，不能被认识。混沌是在确定的系统中表现为貌似随机的行为，这是混沌自身的规律和特征。

(三)奇怪吸引子(Strange attractor)　混沌的特性还可以用几何形态表示出来，称奇怪吸引子，也称混沌吸引子。奇怪吸引子是具有分形(Fracta)结构的吸引子，它的维数(Dimension)与系统的复杂性相关，是用于定量表征吸引子几何形态的方法。另一个定量表征奇怪吸引子的是李雅普诺夫指数(Lyapunov exponents)，奇怪吸引子的维数可由李雅普诺夫指数而得。有学者认为，混沌一词反映系统的动力学特征，奇怪吸引子则表征吸引子的几何性态。混沌系统的吸引子具有奇异的几何特性，数学家将其维数称为分数维。李雅普诺夫指数和维数分别量度动力学性态的规则性程度和几何结构，是被广泛用于评价混沌特征的两项指标。

(四)自相似性(Self－similarset)　混沌系统与分形系统有密切关系，混沌运动的轨道或奇怪吸引子都是分形。在分形系统中，几个适当选择的片段，经适当放大后，每一个都与系统相同。这意味着每个片段的几个子片段经过放大后，等价于原片段，因而也等价于整个系统，即所谓自相似性。

(五)分岔　混沌状态具有普遍性，它可以持续发生，也可以间歇出现，前者称完全混沌(Full chaos)，后者称有限混沌(Limited chaos)。如果系统的时间行为忽而周期，忽而混乱，随机地在两者之间跳跃，则称之为间歇混沌，它源于“倍周期分岔”现象。因此，混沌的特征和程度可以被识别与评价。

四、混沌理论的应用

混沌理论一经问世，很快从数学、天文学和地球科学渗透到物理、化学和生命科学，并扩展至社会科学领域中，成为多学科的研究热点。长期以来，气象学与混沌的亲缘关系不言而喻，而此后，混沌对地球物理学也产生了非常重要的影响，该领域专家认为，天气、气候和地震是典型的混沌吸引子。在社会学方面，从马尔萨斯的人口增长模型，到对经济理论造成的不可忽视的冲击与振奋，都说明了混沌理论存在的普遍意义。

在混沌理论应用中，生命科学被认为是最有前景的应用领域。实验表明，生物学神经网络存在混沌。大脑是由混沌系统或神经细胞组成的非线性网络，而神经细胞由具有混沌动力学的神经膜非线性成分组成。病理方面的实验表明，癫痫和一种具有痴呆表现的遗传性大脑变性与脑电图信号复杂性的降低相关。复杂性的减少与大脑警觉性和智力表现降低有关，睡眠越深，测量的脑电复杂性越低。有人用非线性和混沌与心病学、内科学进行研究，也有类似的发现。

1988年加拿大麦吉尔大学的物理、生理学家Leon Glass(里昂·格拉斯)和另一位生理学家Michael C．Mackey(麦克尔·C·麦基)在《From ClockSTo ChaoSTheRhythms of LifePrinceton》这本具有权威性的著作中对人体生理和病理节律的研究，以及若干生物学实例与相关数学模型进行了精辟的论述，受到科学界的广泛关注。在评述这本书时，《Nature》提出，当应用数学工作者阅读它时，生理学研究将获益非浅，当用于医学生理学课程时，医学的面貌将从目前重视结构和局部机制，彻底改变为更加全面的考察相互作用，复杂的动力学系统中的性态。《Science》指出，正是在生物学中，非线性科学可能最终找到其最重要的应用。