把猜想翻译成矢量代数“完全被认可的”术语翻译的问题

1.把猜想翻译成矢量代数“完全被认可的”术语翻译的问题

EPSILON：我接受挑战。我将证明所有带有单连通面的单连通多面体都是欧拉多面体。

老师：是的，我过去曾在课上叙述过这一定理^[2]。

EPSILON：正像我所指出的，为了证明真理，首先必须发现真理。眼下我根本不反对使用你们的多证多驳法作为发现真理的方法，但是，你们停止的地方正是我的起点。你们在哪儿停止改进，我就从哪儿开始证明^[3]。

ALPHA：但是这一冗长的定理满是可以被拉伸的概念。我并不认为它难以被反驳。

EPSILON：你们将发现反驳它是不可能的。我将把每一个单项词语的意义准确地固定下来。

老师：继续下去。

EPSILON：首先，我将只使用尽可能是最清晰的概念。也许将来某一天我们可以扩展我们完美的知识来涵盖光学照相机、纸张、剪刀、橡皮球和打气筒，但是现在还是让我们忘记这些事物吧。使用这些各种各样的工具肯定是不能够达至终极性的。我们以往的错误依我看来，是基于这样的事实，就是我们使用了与多面体简单明了的性质背道而驰的方法。丰富的想象力赋予这些工具的是完全错误的使用方向。它引证的外在的、背道而驰的、偶然的成分并不适合于多面体的本质，所以就毫不奇怪的在某些多面体上失败了。为了得到完美的证明，就必须严格限制工具使用的范围^[4]。这是因为丰富的想象使确定性很难获得。引理的真理性如果要依赖橡皮、镜头等等的性质，那就难以保证了。我们应该放弃剪刀、打气筒、相机这一类工具，因为“要理解一个问题，我们必须把它从所有多余的元素中抽象出来，并使其尽可能的简单”^[5]。我来清除我的定理^[6]和我的证明中的这些元素，以最简单最容易的东西^[7]来限定它们：即顶点、棱和面。我将不定义这些术语，因为关于它们的意义不可能有分歧。我将使用完全被认可的“基本的”词语来定义哪怕是只有一点点最少的模糊的术语^[8]。

现在很清楚，在任何的证明中，并没有什么专有引理是明显真的；它们只是一些猜想，正如“所有多面体都可以吹胀成球状物”等等这一类猜想一样。但是现在，“我们要求任何类型的猜想都不允许进入我们传达事物之真理的判断之中”^[9]。我将把猜想分解为一些引理，这些引理不再是猜想而是“直觉”，也就是说，“一颗产生自唯一理性之光、纯粹而又专注之心灵的确定无疑的理解”^[10]。这些“直觉”的例子有：所有多面体都有面；所有面都有棱；所有棱都有顶点。我将不再提出像多面体是否是立体或是曲面这样一类问题。这些都是含糊不清的观念，对于我们的目标无论如何都是多余的。对我来说，一个多面体是由3个集合组成：V个顶点（我称呼它们的集合，E条棱（我称呼它们）的集合，F个面（我称呼它们）的集合。为了刻画一个多面体，我们也需要某种表格告知我们哪些顶点属于哪些棱，哪些棱属于哪些面。我把这些表格叫做“关联矩阵”（incidence matrices）。

GAMMA：我被你的多面体的定义搞得有点迷惑了。首先，因为无论如何你费心地去定义多面体的概念了，我得出的结论你并不认为它是完全被认可的。但是另一方面，你又是从哪里得到你的定义的呢？你使用面、棱以及顶点这些“完全被认可的”概念来定义尚不清楚的多面体的概念。但是你的定义——也即多面体是顶点的集合，加上棱的集合，加上面的集合，再加上关联矩阵——显然没有能抓住多面体的直觉的观念。例如，定义中暗示任何多边形都是多面体，比方照你说的，一个多边形与一条处于其外部不受约束的棱一起也组成了多面体。现在你必须在两条路线中做出选择。你可以说“数学家并不关心他的专业术语流行的意义……数学中的定义创造数学中的意义”^[11]。在这种情形下，给多面体下定义就是完全放弃旧的观念而以新概念代替之。但是这样，你的“多面体”与任意真正的多面体之间的所有相似性都完全是偶然的了，那么，通过研究你的模拟多面体，你将得不到任何关于真正的多面体的确定性的知识。另一条路线是坚持定义是一种澄清的思想，它使本质特征显现出来，它是一种翻译或者说是一种把术语转变为更清晰的语言的保持意义不变的转换。在这种情形下，你的定义是猜想，它们可能是正确的，也可能是错误的。你怎样才能拥有一个由模糊的语词到精确的语词的绝对正确的翻译呢？

EPSILON：我承认你的批评让我大吃一惊。我曾以为你也许会怀疑我的公理的绝对真理性，你也许会问这样的先天综合判断是如何可能的，于是我准备了一些应对的论证，但是，我没有料想到你攻击我下定义的路线。不过，我设想了这样的回应：我得到我的定义，正如我得到我的公理一样，是通过直觉的。它们的地位的确是等同的：你可以把我的定义当作是附加公理^[12]，或者你可以把我的公理当作是隐含定义^[13]。它们给出了被讨论的术语的本质。

老师：哲学说得够多的了！让我们来看看证明吧。我不喜欢你的哲学，但是我仍然可能喜欢你的证明。

EPSILON：好吧。我将首先把要证明的定理翻译为我的完全简单并且清晰的概念结构。我的专门的不加定义的术语将是：顶点、棱、面和多面体。有时我谈及它们是作为零、一、二以及三维的多胞形（polytopes）^[14]，或者简单地说，就是0－胞形、1－胞形、2－胞形和3－胞形。

ALPHA：但是，就在10分钟之前你还用顶点、棱和面这些术语来定义多面体呢！

EPSILON：那时，我错了。那个“定义”是一个愚蠢的期望。我糊里糊涂地往前冲，结果跳进了妄断之中。真正的直觉、正确的解释是慢慢成熟的，净化一个人猜想的心灵是要花时间的^[15]。

BETA：你刚才提到的你的公理，比如：面都有棱，或者每个面都有属于它的棱，“属于”在这里是不是又一个原始术语？

EPSILON：非也。我只记录针对正在被讨论的理论的专门术语，当前情形就是指多面体理论，而不是逻辑的、集合论的、算术的等基础理论的术语，我假定这些术语都是完全熟悉的。现在让我继续讨论“单连通”这一术语，它还的确不是绝对清晰的。我将首先定义多面体的单连通性，接下来定义面的单连通性。首先，拿多面体的单连通性来说，它实际上是下面一个冗长的表述的缩写：一个多面体被称作是单连通的，（1）如果所有封闭无回路的棱的系统有一个内部和外部，并且（2）如果只有一个封闭无回路的面的系统——它把多面体的内部和外部分隔开。目前，这一表述充满了相当含糊的词语，比如“封闭的”、“内部”、“外部”等等。但是我将使用完全被认可的术语来定义它们。

GAMMA：你已经驱赶走一些机械的术语——比如吹胀、切割——作为不可靠的；现在，你又抛弃了几何学的术语——比如封闭性。我认为你清除的热情过了头。“封闭的棱的系统”是完全清晰的概念，它不需要定义。

EPLISON：不，你错了。你愿意把星状多边形称作棱的封闭系统吗？也许你会的，因为它没有松散自由的端点。但是，它并没有“围住”任何界限明确的区域，而某些人也许是以“封闭的棱的系统来指谓这样的棱的系统。所以，你必须下定决心要么这样要么那样并且说出你是以什么方式来决定的。

GAMMA：一个星状多边形或许不是有界的，但是它显然是封闭的。

EPSILON：我认为它是封闭的并且也是有界的。分歧已经揭示出来了，但我将提供进一步的证据。我想知道你是否会说七面体是面的封闭系统并且是有界的？

GAMMA：我从未听说你的七面体。

EPSILON：那是相当有趣的一种多面体，因为它是单侧的。它没有围出任何几何立体来，它也没有把空间分隔成两个部分，即分隔成一个内部的和一个外部的。例如，Alpha是被他的“清晰的”几何学直觉所指导，他早先说过，一个封闭的面的系统在划定界限“如果它是多面体内部与多面体外部之间的边界”。我想知道，它是否会说七面体的表面并没有划界？或者将去认知七面体而改变他的“划界系统的概念？既然这样，我将万分谦卑地向你请教：完全被认可的概念可以被经验改变吗？它们不能。因此“封闭的”、“有界的”概念并不是完全被认可的。所以，我们打算给它们下定义。

DELTA：画出那个七面体来。我想知道它是什么样子？

EPSILON：好吧。我首先从一个平常熟悉的八面体开始（见图25）。现在，我在被对角线连接的平面上增加3个正方形，例如ABCD（图26）。

DELTA：我料想一个正当的多面体只会有两个面在棱上相交这儿却有3个面。

图25

图26

图27

EPSILON：稍安毋躁。为了照你的要求作，我现在就移走4个三角形：从图形的前一半，我移走左侧上边的三角形和右侧下面的三角形。从图形的后部，我移走左侧下面的三角形和右侧上面的三角形。那么，只有4个三角形在图示中以阴影标注保留下来（图27）^[16]。于是我们得到了由4个三角形和3个正方形组成的图形这就是七面体^[17]。它的棱和顶点是八面体原先的棱和顶点。八面体的对角线不是我们的图形的棱，而是与其自身相交的线。我并不太重视几何直觉，我对我的多面体碰巧是如此不合适地嵌入三维空间的事实也不大感兴趣。这一事实并不由我的七面体的关联矩阵来呈现。（顺便一说，七面体能够精妙地嵌入五维空间而不自交。）^[18]

那么现在七面体的表面划定界限了吗？如果你定义一个表面是在“划定界限”，当且仅当它在分隔开我们正在讨论的多面体的内部和外部这一意义上是多面体的边界，那么答案就是“没有划定界限”另一方面，如果你定义一个表面是在“划定界限”，当且仅当在它包含多面体所有的面的意义上它是多面体的边界，那么答案就是“划定界限了”。你看，你不得不定义“划定界限”，你不得不定义“边界”。这些概念在人们着手考察多面体形式的丰富性之前，看起来是有一点熟悉，但是，经过如此这般的考察，原先的粗糙的概念分裂了并且显现出精细的结构，于是，你必须小心地定义你的概念，使其在你所使用这些概念的意义上都是清晰的。

KAPPA：那么，为了避免更大程度的分裂，你必须否决进一步的考察。

老师：Episilon，你不要听Kappa的。一般来说，反驳、前后矛盾、批评都是非常重要的，但是，前提是它们导致了改进。单纯的反驳并不是成功。单纯的批评，即使是正确的，如果拥有了权威性，那样的话，贝克莱（Berkeley）就已经阻止了数学的发展，狄拉克也找不到他的论文的编辑了。

EPSILON：不要担心，我立刻就把Kappa的无意义的诘难抛弃了。我现在打算继续定义我的用语，把所有的用语都翻译为我那为数很少的专门的原始术语——多胞形（polytope）和关联矩阵。我将由定义“界限”开始。k－胞形的界限就是依照关联矩阵属于它的（k－1）胞形之和。我将k－胞形之和称为k－链。例如，多面体的“表面”（或者它的任一部分）本质上是2－链。我定义k－链的界限为属于k－链的（k－1）胞形之和，但是我取的是模数（modulo）2的和来代替普通的和。这意味如下算式有效：

0＋0＝0，1＋0＝1，0＋1＝1，1＋1＝0。

你们必须明白，这就是k－链的边界的正确的定义。

BETA：等一下。我无法轻易地领会你的k－维的定义（k－dimensionel definitions）。让我们清楚地思考（think loudly about一个例子^[19]。例如，一个面的边界，依照你的定义，是属于面的棱的集合。现在，当我连接两个面，公共的边界将不再包括它们两者都包括的棱。所以，当我把棱加在一起时，就会略去那些成对地出现的棱。例如，我取两个三角形（图28）。第一个的边界是c＋d＋e，第二个的边界是a＋b＋e，它们连接之后的边界是a＋b＋e＋c＋d＋e＝a＋b＋c＋d。我现在明白了为什么你在你的定义中引入模数2的和。请继续下去吧。

图28

EPSILON：在我使用完全被认可的语词定义了“边界”之后，我现在来定义“封闭性”。到目前为止，你或者是不得不依靠含糊的领悟力，或者不得不以分隔开来的情形来定义“封闭性”：先是棱的系统的封闭性，然后是面的系统的封闭性。现在，我来向你们展示，有一个普遍的封闭性概念，适用于任何k－链，并独立于k。我将把k－链称作闭k－链，或者，简单地说，称作k－回路（k－circuit），当且仅当它的边界是零。

BETA：请稍等。让我想想：直觉上，普通的多面体是封闭的并且因为其边界是零，按照你的定义事实上也是封闭的，同样因为每一个顶点在边界中出现两次，那么，在你的模数2代数中也得零。一个普通的简单的多面体是封闭的，再有其边界是零，因为在其边界中每条棱出现两次。

KAPPA［旁白］：Beta的确必须努力去验证Epsilon的“明显和直接的领悟”！

EPSILON：下一个要阐明的术语是“划界”。如果一个k－回路是一条（k＋1）－链的边界，我就说k－回路划界。例如，球状多面体的“赤道（equator）”划界，但是超环面多面体的“赤道”并不划界。这后一种情况中有另一种观点，即赤道给“整个”多面体划界，现在被排除了，因为整个多面体的边界为空。如今，例如七面体的划界问题，是绝对清晰的了。

BETA：你有点儿快了，但是你好像是对的。

GAMMA：你能证明任何划界之k－链都是回路吗？你只为回路定义了“划界”——你原本能够为链下一个这样的普遍的定义。我猜想你只给出限制性的定义的原因是这隐藏的定理。

EPSILON：对。我能够证明它。

GAMMA：另有一个质疑。一些链是回路，一些链是回路划界这看起来是合适的。但是，我认为一个正宗的k－链的边界应该是封闭的。例如，我无法接受一个多面体是一个立方体却没有顶部；并且我也无法接受一个多边形是正方形却没有了一条边。你能证明任何k－链的边界都是封闭的吗？

EPSILON：我能够证明任何k－链的边界的界都是零吗？

GAMMA：就是嘛。

EPSILON：是的，我不能证明。但这毫无疑问是真的。它是一条公理，并不需要证明。

老师：继续下去，继续下去！我猜想现在你可以把我们的定理翻译成你那完全被认可的术语了。

EPSILON：是的。简要地说，翻译后的定理是：“所有多面体，所有其回路划界的多面体，都是欧拉多面体。”专门的术语“多面体是未下定义的；我已经用完全被认可的术语定义了“回路”和“划界”

GAMMA：你已经忘记了面的单连通性的问题了。你仅仅翻译了多面体的单连通性。

EPSILON：你错了。我要求所有的回路都应该划界，甚至是0－回路。我已经把“多面体的单连通性”翻译为“所有1－回路和2－回路都划界”；并且把“面的单连通性”翻译为“所有0－回路划定界限”。

GAMMA：我不理解你的意思。什么是0－回路？

EPSILON：0－链是任意顶点之和。0－回路是任意其边界是零的顶点之和。

GAMMA：但是什么是顶点的边界？并没有负一维的多胞体。

EPSILON：当然有。或者，可以说，有一个：空集。

GAMMA：你疯了！

ALPHA：他也许没有疯。他是在引入一个约定。我不介意他采纳什么样的概念上的工具。让我们看他的结果。

EPSILON：我没有使用约定，而且我的概念不是“工具”。空集是负一维多胞体。对我来说，它的存在是确定的，就是说，比你的狗的存在还要更加明显。

老师：不要柏拉图式的宣传！说明一下你的“划界的0－回路”是怎样翻译为“单连通面”的。

EPSILON：如果你一旦认识到任意顶点的边界是一个空集，其余的就无关紧要了。按照我先前的定义，一个顶点的边界是空集，但是两个顶点的边界是零，依靠模数2代数可以得出这一点。3个顶点边界又是空集，以此类推。所以，顶点是偶数的是回路，顶点是奇数的就不是回路。

GAMMA：所以，你要求0－回路应该划界这一点，也就是要求任意两个顶点必须为1－链划界，或者用日常语言来表述，就是要求任意两个顶点必须由某一棱的系统来连接。这当然就排除了环状面这实际上就是我们过去常常称之为“分隔开的面的单连通性”的要求。

EPSILON：你几乎无法否认我的语言，它是反映了多面体本质的自然语言，它第一次显示了以前互不关联的、孤立的、特定的（ad hoc）判据的根深蒂固的本质上的一致性。

GAMMA［旁白］：我几乎不能否认我的迷惑不解！通向这条“自然的简单性”之路上难道应该杂乱地堆满了如此的复杂性，这真是相当的奇怪。

ALPHA：让我来检查一下我的理解。你说所有的顶点都有相同的边界：空集，是吗？

EPSILON：对。

ALPHA：于是，我假设，对于你来说“所有顶点都有空集”是一个公理；正如“所有面都有棱”或者“所有棱都有顶点”。

EPSILON：是这样的。

ALPHA：但是这些公理不可能有同样的地位！前面的公理是一个约定，后面两个公理则必然为真。

老师：定理已经翻译了。我想看证明。

EPSILON：马上就证明，先生。先让我稍微修改一下定理为“所有其中回路与划界的回路重合的多面体都是欧拉多面体”。

老师：那就证明这一点。

EPSILON：马上就证明，先生。我将重新叙述这一定理^[20]。

BETA：但是，为什么？你已经把所有有一点儿含糊的术语翻译为完全被认可的术语了！

EPSILON：这是真的。但是，我打算进行的翻译是非常不同的。我将把我的一套原始术语翻译为另一套还要更加基本的原始术语。

BETA：这样，你的一些完全被认可的术语要比其他一些更加被认可。

老师：Beta，不要不断地质问Epsilon了！把你的注意力放在他正在做的而不是他怎样解释他正在做的上面。继续，Epsilon。

EPSILON：如果我们更加仔细地注意我的定理的最后的表述我们将看到，它正是关于确定的矢量空间的维数是由关联矩阵所决定的定理。

BETA：什么？

EPSILON：看看我们的链的概念，比如1－链，它就是：

x₁θ₁＋x₂θ₂＋…＋x_Eθ_E，

这里θ₁，θ₂，…，θ_E是E条棱，而x₁，x₂，…，x_E是0或1。

容易看出，1－链形成在模2剩余类域上的E维矢量空间。一般来说，k－链形成模2剩余类域上的Nk维矢量空间（这里Nk代表k－胞形的数）。回路形成链空间的子空间（subspaces），划界的回路又形成回路空间的子空间。

所以，事实上，我的定理是“如果回路空间和划界回路空间重合，0－链空间的维数减去1－链空间的维数再加上2－链空间的维数等于2”。这是欧拉定理的本质。

老师：我喜欢这种真正地显示了你的简单工具特性的重新表述——真如你所承诺的。你如今毫无疑问将要通过矢量代数的简单方法来证明欧拉定理了。让我们看看你的证明。