证明分析。定理概念与证明分析之严格性概念的相对化

（d）证明VS.证明分析。定理概念与证明分析之严格性概念的相对化

ALPHA：你的规则2中，提到“合适”，是什么意思？

GAMMA：那个词完全多余。任何引理，被正在讨论的反例驳倒后，皆可加入进去——因为任何这样的引理皆复原了证明分析的有效性。

LAMBDA：什么！这样说，像“所有多面体都至少有17条棱一样的引理也要考虑对付圆柱的责任了！并且其他任何随手抓来的随意的（ad hoc）猜想也是如此了，只要恰好被反例驳倒。

GAMMA：难道不是吗？

LAMBDA：我们已批评了怪物排除者与例外排除者，说他们忘记了证明不管^[74]。现在你是在搞一样的名堂，在发明一个真正的怪物：没有证明的证明分析！你和怪物排除者间的唯一区别，是你会让Delta把他任意而武断的定义公开明白地表述出来，并将它们作为引理并入定理中。而例外排除与你的证明分析便没有任何区别了。要抵御这样的随意的（ad hoc）方法，安全措施只有一个，就是采用合适的引理，即与思想实验之精神一致的引理！莫非你愿意让数学失去其证明之美，而代之以愚蠢的形式游戏？

GAMMA：这也比你的“思想实验之精神”好！我是在守卫数学的客观性，以抵御你的心理变态。

ALPHA：谢谢你，Lambda，你重申了我的论点：人并不是突然发明一条新引理，来应付全局而非局部的反例，而是细心备至地检查证明，并就地发现引理。所以，亲爱的Theta，我并不曾“编造”隐藏引理，亲爱的Kappa，我亦不曾把它们“偷运”入证明中。这一切本来就包含在证明里——只是一位成熟的数学家从简略的提纲就理解了整个证明。我们不应把不可错的证明与不精确的证明分析混为一谈。驳不倒的大师级定理还是存在的：“可施行思想实验的所有多面体，或简言之，所有柯西多面体，都是欧拉多面体。”我的近似证明分析描绘出了这类柯西多面体的边界线，我用的铅笔——我得承认——削得不太尖。现在古怪的反例教我们如何把铅笔削尖了。不过第一，没有铅笔绝对的尖（且若我们过分地削，它便会断掉）；第二，削铅笔算不上创造性的数学活动。

GAMMA：我搞得云里雾里了。你是什么观点？原先你是个反驳的拥护者。

ALPHA：啊，我的成长的痛楚！成熟的直觉把论争扫除殆尽了。

GAMMA：你第一次成熟的直觉曾把你引至你的“完美的证明分析”处。你曾经还以为你的“铅笔”是绝对尖的。

ALPHA：我忘记了语言交流的困难——特别是和迂夫子以及怀疑主义者交流。但数学的心脏究竟是思想实验——证明。它的语言表述——证明分析——对交流来说是必需的，但无关大局。我对多面体感兴趣，而你对语言感兴趣。你没瞧见你的反例的贫乏吗它们是语言性质的，不是多面体性质的。

GAMMA：于是驳倒一条定理就仅仅暴露了我们的无能，掌握不了定理中的隐藏引理？这样一来，“定理”岂非无意义的，除非我们领悟了它的证明？

ALPHA：语言的含混性既然让证明分析的严格性不可企及又让定理之形成成为一个无穷无尽的过程，我们又何必为定理烦心职业的数学家当然不会这样。若又有一个微不足道的“反例”产生他们不会承认他们的定理被驳倒了，而至多说其“有效域”应适当缩小。

LAMBDA：这么说，你的兴趣不在反例上，不在证明分析上，亦不在引理并入上？

ALPHA：正是。我拒绝你的所有规则。我仅提出一个规则代替之：建立严格的（水晶般清楚的）证明。

LAMBDA：你争辩说证明分析的严格性不可企及。证明的严格性可以企及吗？“水晶般清楚的”思想实验就得不出荒谬或甚至自相矛盾的结果？

ALPHA：语言虽是含混的，思想却可达至绝对的严格性。

LAMBDA：可是，其实“在进化的每一阶段，我们的先辈们不也以为他们已达至了吗？若他们自己骗了自己，我们难道就没有同样地自己骗自己？”^[75]

ALPHA：“今日，绝对的严格性业已获得。”^[76]

［教室里发出吃吃的笑声^[77]。］

GAMMA：这套“水晶般清楚的”证明之理论是彻头彻尾的心理主义^[78]！

ALPHA：却要好过你的证明分析那套逻辑语言学的迂腐卖弄^[79]！

LAMBDA：别夹带骂人的字眼。我也怀疑你的数学观，你以为“数学是一套本质上不用语言的心灵活动”^[80]。活动怎么能有真假只有表达清楚的思想才能够探求到真理。光有证明尚还不够：我们亦必须说出证明所要证的是什么。证明只是数学家工作的一个阶段，其后尚有证明分析与反驳，最终结束于严格的定理。我们只能把“证明的严格性”与“证明分析的严格性”结合在一起。

ALPHA：你仍心存希望，以为你最后会得到一套严格得无以复加的证明分析吗？若是这样，请告诉我，你何不从系统阐述你由圆柱“激发”的新定理开始？你只是空说它存在。它的冗长与笨拙一定可以让我们绝望得忍俊不禁，而这不过才是你碰上的第一个新反例你以一系列一个比一个精确的定理，替代了我们的原猜想——但只是在理论上。这一相对化过程的具体实践又是如何？一个比一个古怪的反例会被一个比一个平常的引理所反驳——得到一个比一个冗长、笨拙的定理形成的“恶无限”^[81][82]。在批评似乎要引向真理时，它还带来令人鼓舞的感觉。但当它不分青红皂白地摧毁一切真理，驱使我们漫无目的而又无穷无尽地干下去时，它便当然是令人泄气的。我在思想中止住了这个恶无限——你在语言上却永远止不住它。

GAMMA：但我从不曾说，一定有无穷多的反例存在。于某一处，我们便可到达真理，反驳之洪流即随之而停住。不过，我们当然是不知道这具体的时候。只有反驳具有决定性意义——证明是心理上的问题^[83]。

LAMBDA：我仍坚信，反驳渐止之时，即是绝对确定性闪光之日！

KAPPA：可是有这一天吗？若上帝创造了多面体，安排让所有关于多面体的真全称命题——以人类语言表述之——是无限长吗想当然地说（神启的）真定理的长度有限，这难道不是渎神的神人同形同性论？

老实说吧，以如此这般的理由，你们全都厌倦了繁多的反驳和逐步而零碎的定理形成过程。何不就此罢手，停止这个游戏？你已放弃了“证毕”（Quod erat demonstrandum）。何不亦放弃“诸证均毕（Quod erat demonstratum）？真理只属于上帝。

THETA［旁白］：一个对宗教虔诚的怀疑主义者是科学最恶劣的敌人！

SIGMA：我们不要太过夸张！毕竟，只有一小块含混的边缘区出现了危险。如我之前所说的，情况很简单，不过是并非所有的命题非真即假。还有第三类命题，我现在要称其为“或多或少严格的”。

THETA［旁白］：三值逻辑——批评理性的末日到来了！

SIGMA：……我们陈述这类命题的有效域，只要有或多或少足够的严格性就行。

ALPHA：足以做什么？

SIGMA：足以解决我们想解决的问题。

THETA［旁白］：实用主义！人人都对真理丧失兴趣了吗？

KAPPA：或是对Zeitgeist（时代精神）来说足够了！“有一天严格性，就够用一天。”^[84]

THETA：历史主义！［晕倒。］

ALPHA：Lambda为“严格的证明分析”制订的规则剥夺了数学之美，呈于我们冗长又笨拙的定理的吹毛求疵的迂腐卖弄，这些定理充斥着枯燥乏味、厚如砖块的书本，最后只会搞得我们陷入恶无限之困境中。Kappa的逃生之计是做出约定，而Sigma的是数学实用主义。这就是理性主义者的选择吗！

GAMMA：所以，理性主义者应该品尝Alpha的“严格证明”的滋味：表达不清的直觉、“隐藏引理”、对虚假性转送原理的嘲弄、对反驳的消灭，是吗？数学应该与批评和逻辑无关，是吗？

BETA：无论事实如何，我已经受够所有这些不确定的诡辩了我想搞数学，对核正数学基础之正当性所遇到的哲学困难，我毫无兴趣。即令理性不能提供如此的正当性之核正，我的自然本能可以让我安心^[85]。

我晓得Omega搜集了一些有趣的可供选择的证明——我倒愿意听听他的。

OMEGA：可我要把它们置入“哲学的”框架内啊！

BETA：我不在乎包装，如果包里还有点其他的东西。

按语：在这一节里，我试图说明数学批评的出现一直是如何作为探寻数学“基础”的主动力的。

看起来，我们对证明与证明分析及相应的证明之严格性与证明分析之严格性做出的区分是关键性的。1800年左右，证明的严格性（水晶般清楚的思想实验或构造）与乱七八糟的论证、归纳的结论间形成巨大反差。这便是欧拉所谓“（论证的严格性）rigida demonstratio”，而康德的不可错数学之观念亦建立在此概念之上（见其［1781］第716—717页上数学证明的范例）。那时亦认为，人应证明其欲着手证明者。且对所有人来说，思想实验的口头表达都不存在真正的困难。亚里士多德（Aristotelian）形式逻辑与数学是两块完全独立的领域——数学家以为前者毫无用处。证明或思想实验无需任何演绎模式或“逻辑”结构，便令人心服口服。

19世纪初，反例之洪流带来了混乱局面。因为证明是水晶般清楚的，反驳便必须是不可思议的离经叛道者，要彻底从不容怀疑的证明中隔离开。柯西的严格性之革命依靠探试法的创新，数学家不应在证明上便刹住脚了：他应继续前进，寻出他已证明了什么，方法是列举例外，或不如说是表述出证明生效的安全范围。但柯西——以及阿贝尔——均未见到两个问题的联系。他们一生都未悟及，如果他们发现一个例外，他们便应再看看证明有什么问题。（其他人施行了怪物排除、怪物校正乃至“熟视无睹”——但所有人皆同意证明是忌讳“例外”的，两者毫不相干。）

19世纪逻辑与数学的统一有两个主要的源头：非欧几何与维尔斯特拉斯的严格性革命。它们引来了证明（思想实验）与诸反驳的整合，开始发展证明分析，逐渐把演绎模式引入来证明思想实验我们所说的“一证多驳法”便是他们的探试发明：其首次把逻辑与数学连为一体。维尔斯特拉斯派的严格性战胜了它的两个反动的敌人：怪物排除与引理隐藏，此两者曾高举“严格性之愚钝”、“人造物与美”等等的旗号。证明分析的严格性取代了证明的严格性：不过只要证明分析以完全确定性作为保证，大多数数学家便亦容忍了它的迂腐之气。

康托尔（Cantor）的集合论——它一出生，“严格”定理的另外一些未曾料及的反驳又蹦了出来——把许多维尔斯特拉斯派的老卫士变成了教条主义者，并跃跃欲试地跟“无政府主义者”搏斗，手段是排除新的怪物，或者说他们的代表“严格性的最后定论”之定理中原就有“隐藏引理”，仍给老式的“保守派”扣上雷同罪的帽子而穷追猛打

接着，部分数学家意识到，多证多驳法之追逐证明分析的严格性要掉到恶无限里去。一场反对“直觉主义”的变革开幕了：证明分析令人垂头丧气的那套逻辑语言上的迂腐卖弄遭到了严辞声讨，而为证明发明了严格性的新极端主义标准；数学与逻辑再度分离了。

逻辑主义者试图挽救这两者之间的结合，却被悖论绊了一跤。希尔伯特派的严格性把数学变成了一张证明分析的蜘蛛网，并号称靠着他那直觉主义元理论中水晶般清楚的连续性证明，便可制止它们的无穷回归。这“基础层”，也即具有不可批评的熟悉性的区域，被转移到了元数学的思想实验中去。（参看拉卡托斯［1962］，第179—184页

通过每一次“严格性革命”，证明分析都更深地渗透在证明中，直至渗透到了“熟悉的背景知识”的基础层（亦见第44页脚注③），而这是个水晶般清澈的直觉和证明的严格性主宰一切的王国，批评在这儿被驱逐出境了。于是，不同级别的严格性便仅于一点处不同它们于何处为证明分析之严格性与证明之严格性划界，即批评当于何处停止，核正当于何处开始。“确定性从未达到”；“基础”永未寻得——但在数学的领域里，“理性的狡猾”把严格性的每一回增加都变成了内容的扩增。不过，这一情节在我们现在的考察范围之外^[86]。