【摘要】：在积分学中，黎曼（Riemann）积分要求至少满足两个条件：一是积分区间［a，b］是有限的；二是被积函数f（x）在［a，b］上是有界函数；但在许多理论和实际中往往又不满足这些条件，因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题，这就是反常积分.所以，对反常积分敛散性进行探讨，非常必要.为了使反常积分敛散性判断更加灵活方便，因此，给出如下两个极限审敛法的等价定理.定理2.8.1 （参考文献［3］的
在积分学中，黎曼（Riemann）积分要求至少满足两个条件：一是积分区间［a，b］是有限的；二是被积函数f（x）在［a，b］上是有界函数；但在许多理论和实际中往往又不满足这些条件，因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题，这就是反常积分.所以，对反常积分敛散性进行探讨，非常必要.为了使反常积分敛散性判断更加灵活方便，因此，给出如下两个极限审敛法的等价定理.
定理2.8.1 （参考文献［3］的极限审敛法1的等价定理）设f（x）在［a，＋∞）上连续，且f（x）≥0.
（1）如果存在常数p＞1，使
即有界，则
收敛；
（2）如果
的同阶或低阶无穷小，则
发散.
证 （1）因
即有界，故一定存在常数N＞0，使
收敛，由比较准则知
收敛.
（2）如果f（x）是
的同阶或低阶无穷小，则一定存在常数N＞0，使
发散，故由比较准则知
也发散.
定理2.8.2（参考文献［3］的极限审敛法2的等价定理）设f（x）在［a，c）∪（c，b］上连续，且f（x）≥0，x＝c是奇点.
（1）如果存在常数p＜1，使
即有界，则
收敛；
（2）如果
的同阶或高阶无穷大，则
发散.
证 （1）因
即有界，则一定存在常数N＞0，使
（或
（p＜1））收敛，故由比较准则知
收敛.
（2）若f（x）是
的同阶或高阶无穷大，则一定存在常数N＞0，使
发散，故由比较准则知
发散.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
