离散型随机变量的数学期望

数学期望的定义来自通常的平均值的概念，实质上是一个加权平均值．在给出数学期望的概念之前，我们先看一个例子．

例4．1．1 甲、乙两射手进行射击比赛，已知在100次射击中命中的环数与次数记录分别如表4－1和表4－2所示．

试问如何评定甲、乙两射手的技术优劣？

表4－1 甲射手100次射击记录

表4－2 乙射手100次射击记录

解 从上面的成绩表很难看出两个射手的技术优劣，实际生活中一般用平均环数来评价射手的技术．

甲平均射中的环数为：

乙平均射中的环数为：

这里存在一个问题，射手的技术是客观的，但是根据上面的计算，在不同的试验中可能会得到不同的结果．若设X表示击中的环数，则上面的计算过程中数据0．3，0．1等就是在100次射击中事件｛X＝k｝发生的频率，当射击次数相当大时，这个频率就接近事件｛X＝k｝在一次试验中发生的概率pk，这样平均环数就可以表示为，此式称之为随机变量X的数学期望或平均值．

定义4．1．1 设离散型随机变量X分布律为

P｛X＝xk｝＝pk， k＝1，2，…，

若级数绝对收敛，则称级数为X 的数学期望（mathematical expectation）（简称期望或均值）．记为E（X）．即

注：为使E（X）与级数各项的次序无关，必须要求收敛；否则，E（X）不存在．

例4．1．2 设用一个匀称的骰子来玩游戏．在这样的游戏中，若骰子向上为2，则玩游戏的人赢20元，若向上为4则赢40元，若向上为6则输30元，若其他的面向上，则玩游戏的人既不赢也不输，求玩游戏的人赢得钱数的期望值．

解 令X为任何一次抛掷中赢得钱数，则X的分布侓为

表4－3

E（X）＝0×1／2＋20×1／6＋40×1／6－30×1／6＝5．

从而玩游戏的人可期望赢5元，因此，在一个公正的游戏中，玩游戏的人为了参加游戏应当付5元底金．

例4．1．3 设随机变量X只取非负整数值，且其分布侓为

P｛X＝k｝＝，a＞0，试求：E（X）．

解 E（X）＝＝b（0＜b＜1），从而有