离散型随机变量及其分布律（列）

若随机变量X只能取有限个数值x1，x2，…，xn或可列无穷多个数值x1，x2，…，xn，…，则称X为离散型随机变量．

定义2．2．1 设离散型随机变量X所有可能的取值为xi（i＝1，2，…），X取各个可能值的概率，即事件｛X＝xi｝的概率为

则称（2－3）式为离散型随机变量X的分布侓或分布列．分布侓也常用下述形式表示：

表2－1

由概率的性质容易推得，任一离散型随机变量X的分布侓｛pi｝都具有下列两个基本性质：

（1）非负性：

（2）规范性：

证明 因为pi是概率，即pi＝P｛X＝xi｝，故pi≥0；

由于x1，x2，…，xn，…是X的一切可能取值，故有 注意到对任意的i≠j，有｛X＝xi｝∩｛X＝xj｝＝∅，由概率的可列可加性得

反过来，任意一个满足以上两个性质的数列p｛｝i，一定可以作为某一个离散型随机变量的分布律．

由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，因此，由离散型随机变量的分布侓可以推出分布函数，反之亦然．

设F（x）是离散型随机变量X的分布函数，则当X有分布侓P｛X＝xi｝＝pi≥0，i＝1，2，…，易得

其中和式是对所有满足xi≤x的i求和．

例2．2．1 设离散型随机变量X的分布律为

（2）

P

P

离散型随机变量的分布函数F（x）是一个右连续、单调非降的分段阶递函数，它在X的可能取值xi处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点，在每个间断点xi处有跳跃，其跃度值为pi＝P｛X＝xi｝．

例2．2．2 设一汽车在开往目的地的道路上需要经过四盏信号灯，每盏信号灯以1／2的概率允许或禁止汽车通过．以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布侓．（设各组信号灯的工作是相互独立的）

解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的可能取值为0，1，2，3，4，易知X的分布侓为表2－2或写成

表2－2

将p＝代入上式，所得结果如表2－3所示．

表2－3