二维离散型随机变量及其分布

定义3．1．4 如果二维随机变量（X，Y）的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量．

设二维随机变量（X，Y）所有可能取的值为（xi，yj），i，j＝1，2，…，且（X，Y）取各对可能值的概率为

P｛X＝xi，Y＝yj｝＝pij，i，j＝1，2，…， 　（3－5）

称（3－5）为（X，Y）的联合分布律，离散型随机变量（X，Y）的联合分布律可用表3－1表示．

表3－1

由概率的定义，（X，Y）的联合分布律具有以下性质：

（1）非负性：pij≥0（i，j＝1，2，…）；

（2）规范性：

知道了（X，Y）的联合分布律以后．可以求其联合分布函数：

其中和式是对一切满足xi≤x，yj≤y的i，j来求和的．

二维随机变量（X，Y）的联合分布函数F（x，y）可以确定边缘分布函数FX（x）、FY（x），同样，二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律也可以确定其边缘分布律．

设（X，Y）是二维离散型随机变量，其分布律为

P｛X＝xi，Y＝yj｝＝pij，i，j＝1，2，…，于是

X的边缘分布律为

事实上：＝

Y的边缘分布律为

事实上：＝

上述关于联合分布律与边缘分布律之间的关系可用表3－2来表示．

表3－2

例3．1．1 设袋中有2只白球，3只黑球．现从其中随机地抽取两次，每次取一个，定义随机变量如下：写出下列两种试验的随机变量（X，Y）的联合分布律pij以及X和Y的边缘分布律pi·和p·j．

（1）有放回摸球；（2）无放回摸球．

解 （1）有放回情形由表3－3给出．

表3－3

（2）无放回情形由表3－4给出．

表3－4

在上例的表中，中间部分是（X，Y）的联合分布侓，而边缘部分是X和Y的边缘分布律，它们由联合分布经同一行或同一列的和得到，“边缘”两字即由上表的外貌得来．显然，离散型二维随机变量的边缘分布侓也是离散的．另外，上例中的X和Y的边缘分布律是相同的，但它们的联合分布律却完全不同．由此可见，联合分布律可以唯一地确定边缘分布律．反之，联合分布不能由边缘分布唯一确定，也就是说，二维随机变量的性质不能由它的两个分量的个别性质确定，此外，还必须考虑它们之间的联系．在什么情况下，二维随机变量的联合分布能由两个随机变量的边缘分布唯一确定，这是第三节的内容．