几种常见的离散型分布

1.0-1分布（两点分布）

则X的分布律为

或

如果一个随机变量X的分布律具有（2.2.2）的形式，则称X服从参数为p的0-1分布或两点分布，亦称伯努利分布.

2.二项分布

定义2.2.2若随机变量X的概率分布为

则称X服从参数为n，p的二项分布，记为X～B（n， p） .

二项分布的实际背景是做n次伯努利试验的成功次数X服从的分布，其中p为每次试验成功的概率.

下面举几个例子，说明如何应用二项分布来计算概率.

例2.2.5某人打靶，命中率为p = 0.8，独立重复射击5次，求：

（1）恰好命中两次的概率；

（2）至少命中两次的概率；

（3）至多命中四次的概率.

解 设X为命中数，则X～ B（5，0.8），

例2.2.6假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2.一周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工作日则亏损2万元.求所创利润的概率分布.

解 设X为一周5个工作日停用的天数，则X ～ B（5， 0.2）； Y为一周所创利润.一周所创利润Y为：

因此

例2.2.7某经理有7个顾问，对某决策征求意见，经理听取多数人的意见.若每位顾问提出正确意见的概率均为0.6，且相互独立，求经理作出正确决策的概率.

解 设提出正确意见的顾问人数为X，则X～ B（7，0.6） .经理作出正确决策的概率为

例2.2.8一种生物试验的费用比较昂贵，而每次试验取得成功的概率为0.4.如果试验者希望以0.95的概率至少取得一次成功，则至少应做几次试验？

解 设至少应做n次试验，X表示n次试验中取得成功的次数，则X～B（n， 0.4） .因为

所以

即至少应做6次试验.

例2.2.9 对某药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率p=0.8.现有10个患者同时服此药，求至少有6个患者治愈的概率.

解 治愈人数X～ B（10，0.8），

注：这个概率是很大的，也即，如果治愈率确为0.8，则在10人中治愈人数少于6人的情况是很少出现的.因此，如果在一次实际试验中，发现10个病人中治愈不到6人，那么假定治愈率为0.8就值得怀疑了.

例2. 2. 10 （保险事业） 若一年中某类保险者的死亡率为0. 005. 现有1万人参加这类保险，试求在未来一年中在这些保险者里面，（1）有40人死亡的概率；（2）死亡人数不超过70 人的概率.

解 死亡人数X～ B（10000，0.005），

由于n = 10000很大，这个概率的计算量是很大的，为此，我们引入一个计算二项分布的近似公式.下面定理给出了近似计算公式的理论依据.

例2.2.11一本500页的书共有1000个错字，每个错字等可能出现在每一页上，试估计在给定的一页上至少有3个错字的概率.

解10万次生育中生三胞胎的次数X～B（100000， 0.0001）.

用泊松近似公式，λ=np= 10，

直接用伯努利公式计算得

可见近似程度令人满意.

3.泊松分布

定义2.2.2若随机变量X的概率分布为

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ） .

历史上，泊松分布作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松（Poisson）引入，主要描绘“稀有事件”计数资料统计规律的概率分布，后来成功地用于描绘随机质点在时间或空间上的分布.近几十年来，泊松分布日益显示其重要性，成为概率论中最重要的几个分布之一.许多随机现象服从泊松分布，例如，电话总机来电呼叫数，来到汽车站的乘客数等.因此，在运筹学及管理科学中，泊松分布占有很突出的地位.

我们把源源不断地出现在随机时刻的质点（或事件）形成的流，称作随机质点流.例如，到达商店的顾客、用户对某种商品质量的投诉、暴雨、交通事故、重大刑事案件、大震后的余震、到达某港口等待进港的货轮、纺纱机上的断头等所形成的随机质点流.

以v（t）表示在长为t的时间内出现的随机质点数.在相当广泛的情形下，随机变量v（t）服从参数为λ t的泊松分布：

其中λ是单位时间出现的随机质点的平均个数，称作质点流的强度.我们称服从泊松分布律的随机质点流为泊松随机质点流，简称泊松流.

例2.2.13通过某十字路口的汽车数服从泊松分布.若平均5秒钟有1辆汽车通过，求10秒钟内通过的汽车不少于2辆的概率.

解 设X为10秒内通过的汽车数，服从λ = 2的泊松分布，

例2.2.14某商店出售某种商品，据历史记录分析，每月销售量服从泊松分布，λ=5，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.95的概率充分满足顾客的需要？

解 设需求量为X件，并设至少库存N件，则

查表得，必须取N = 10 .

例2.2.15一单位的内部交换台有300部分机，假设每部分机要外线的概率为3%，

（1）问最少要设几条外线，才能使呼叫外线的分机及时得到满足的概率不小于90 %？

（2）求同时呼叫外线的分机多于20部的概率α.

解 设300部分机中呼叫外线的有X部，则X ～ B（300， 0.03），由于n = 300较大，而p=0.03较小，所以它近似于参数λ=300×0.03=9的泊松分布.

（1）设k为需要设外线的最少条数，则应满足条件

利用泊松分布累积概率表，得

因此，最少应设13条外线，便可以不小于90%的概率使呼叫外线的分机及时得到满足.

（2）由泊松分布累积概率表，可知

即同时呼叫外线的分机多于20部的概率仅为0.44‰.

4.几何分布

定义2.2.2若随机变量X的概率分布为

则称X服从几何分布.

背景：在伯努利试验中，若记X为首次成功时所做的试验数，则X服从几何分布.

例2.2.16某人有n把钥匙，仅有一把能打开门，随机选一把试开，开后放回，直至打开为止，求第s次才打开门的概率.