1．均匀分布
若随机变量X的概率密度为
则称X在区间［a，b］上服从均匀分布，记为X～U［a，b］．
上述闭区间［a，b］可改为开区间（a，b）或半开半闭区间［a，b），（a，b］．
如果X～U［a，b］，则X具有下列性质：
（1）落在区间外的概率为零，即
P｛X＜a｝＝P｛X＞b｝＝0．
事实上，
（2）落入［a，b］的任意等长子区间的概率相同，与子区间长度成正比，与子区间的位置无关，即若［c，d］⊂［a，b］，则P｛c≤X≤d｝＝k（d－c），其中k是比例系数．
事实上，
上述两点是服从均匀分布随机变量的特征性质，在实际问题中，如果依据客观经验判断出某随机变量具备这两个特征，就认为它服从均匀分布．例如，在数值计算中，某位上的数字按“四舍五入”处理时引起的舍入误差；班车按固定时间间隔运行时，乘客的候车时间等，都服从均匀分布．
例2．3．7 设公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7：00，7：15，7：30， 7：45等时刻有汽车到达此站．如果乘客到达此站时间X是7：00～7：30之间的均匀随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率．
解 以7：00为起点0，以分为单位，依题意，X～U［0，30］，
为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7：10～7：15或7：25～7：30之间到达车站，故所求概率为
例2．3．8 设随机变量K服从（0，5）上的均匀分布，求方程4x2＋4 Kx＋K＋2＝0有实根的概率．
解 当Δ＝16 K2－16（K＋2）≥0时，即K2－K－2≥0，方程4x2＋4 Kx＋K＋2＝0有实根，因此所求概率为
P｛K2－K－2≥0｝＝P｛K≤－1｝＋P｛K≥2｝．
而K的概率密度函数为
2．指数分布
若随机变量X的概率密度为
其中λ＞0为常数，则称随机变量X服从参数为λ的指数分布（exponentially distribution），记为X～E（λ）．
指数分布是一种常见的分布，它在可靠性理论和排队论中起着重要的作用．在实际中，诸如电子元件及动物等的寿命就是服从指数分布．另外，如事故发生之间的时间，汽车行驶的里程数，随机服务系统中的服务时间及每一次打电话的时间等都服从指数分布．
例2．3．9 设某电子管的使用寿命X（以小时为单位）服从参数λ＝0．0002的指数分布．求电子管的使用寿命超过3000小时的概率．
解
3．正态分布N（a，σ2）
若随机变量X的概率密度为
其中μ，σ（σ＞0）为常数，则称X服从参数为μ，σ的正态分布（normaldistribution），或高斯（Gauss）分布，记为X～N（μ，σ2）．
正态分布是概率论中最重要的一个分布．高斯（Gauss）在研究误差理论时曾用它来刻划误差，所以在许多著作中也有称为高斯分布的．经验表明，许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子身高等都可以认为服从正态分布．进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，在第5章中我们将讨论这个问题．
图2－1 图中σ不会修改
设随机变量X～N（μ，σ2），由高等数学可知：
（2）f（x）的图形对称于直线x＝μ，当x＜μ时单调上升，当x＞μ时单调下降；
（3）f（x）以x轴为渐近线（即y＝0为水平渐近线）；
（4）若固定σ，改变μ值，则曲线y＝f（x）沿x轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图2－2）
（5）若固定μ，改变σ值，由f（x）的最大值可知，当σ越大，f（x）的图形越平坦；当σ越小，f（x）的图形越陡峭．（如图2－3）
图2－2
图2－3
特别的，当μ＝0，σ2＝1时，称X服从标准正态分布，即X～N（0，1），密度函数为
标准正态分布的分布函数为
由于正态分布在概率计算中的重要性，而Φ（x）不是初等函数，计算它的值比较复杂，为了使用方便，书后附有Φ（x）的函数值（附表）可供查用．
由标准正态分布的对称性易知，对任意x有：
Φ（－x）＝1－Φ（x）． （2－17）
所以表中只对正的x给出Φ（x）的数值．
定理2．3．1 若X～N（μ，σ2），则
（1）Y＝a X＋b～N（aμ＋b，a2σ2），其中a（a≠0），b为常数；
由定理2．3．1告诉我们：正态随机变量的线性函数也服从正态分布．对于一般的N（μ， σ2）分布函数，可以通过线性变换转换为标准正态分布来获取．
标准正态分布表的使用方法如下：
（1）表中给出了x＞0时Φ（x）的数值，当x＜0时，利用Φ（－x）＝1－Φ（x）；
（2）若X～N（0，1），则P｛x1＜X≤x2｝＝Φ（x2）－Φ（x1）；
由上面的公式和标准正态分布函数Φ（x）的函数值表，可以方便地求一般正态变量落在任意区间上的概率．
例2．3．10 若X～N（μ，σ2），则
P｛μ－σ＜X≤μ＋σ｝＝Φ（1）－Φ（－1）＝68．26％，
P｛μ－2σ＜X≤μ＋2σ｝＝Φ（2）－Φ（－2）＝95．44％，
P｛μ－3σ＜X≤μ＋3σ｝＝Φ（3）－Φ（－3）＝99．74％．
3σ规则：服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率为0．9974，落在该区间外的概率只有0．0027，在实际问题中常常认为它是不会发生的．也就是说，X几乎不可能在区间（μ－3σ，μ＋3σ）之外取值，基本上可以认为有｜X－μ｜≤3σ，这种近似的说法被一些实际工作者称作是正态分布的“3σ规则”．
例2．3．11 设X～N（0，1），求：
（1）P｛0．2＜X≤0．5｝；（2）P｛X≤－1．2｝；（3）P｛｜X｜≤0．34｝．
解 查标准正态分布表
（1）P（0．2＜X≤0．5）＝Φ（0．5）－Φ（0．2）＝0．6915－0．5793＝0．1122；
（2）P（X≤－1．2）＝Φ（－1．2）＝1－Φ（1．2）＝1－0．8849＝0．1151；
（3）P（｜X｜≤0．34）＝P｛－0．34≤X≤0．34｝
＝Φ（0．34）－Φ（－0．34）＝Φ（0．34）－［1－Φ（0．34）］
＝2Φ（0．34）－1＝2×0．6331－1＝0．2662．
例2．3．12 设X～N（500，60），求：
（1）P｛X＞560｝；（2）P｛｜X－500｜＞200｝；（3）若P｛X＞x｝≥0．1，求x的值．
（3）要求P｛X＞x｝≥0．1，即要求1－P｛X≤x｝≥0．1，即需
因Φ（·）为单调函数，故需
例2．3．13 公共汽车的高度是按男子与车门定碰头的机会在0．01以下来设计的，设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（170，62），试确定车门的高度．
解 设车门的高度为h（cm）．依题意有
P｛X＞h｝＝1－P｛X≤h｝＜0．01
即
P｛X≤h｝＞0．99
设计车门高度为184cm时，可使男子与车门碰头的机会在0．01以下．
为了便于今后在数理统计中的应用，对标准正态随机变量，我们引入上α分位点的定义．
设X～N（0，1），若zα满足条件P｛X＞zα｝＝α，0＜α＜1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．（如图2－4所示）
由Φ（x）图形的对称性可知，z1－α＝－zα．
例如，取α＝0．005，由上α分位点的定义，要求P｛X＞zα｝＝α，由此得P｛X≤zα｝＝1－α＝0．995，查标准正态分布表，可得zα＝2．576．
数理统计中还用到双侧α分位点，定义如下：
设X～N（0，1），若zα满足条件P｛ Z＞zα／｝2 ＝α，0＜α＜1，则称点zα／2为标准正态分布的双侧α分位点．（如图2－5所示）
图2－4
图2－5
由定义可知，P｛X≤zα／2｝＝1－α／2，zα／2的值可由Φ（zα／2）＝P｛X≤zα／2｝＝1－α／2得到．例如，取α＝0．01，Φ（z0．005）＝1－0．01／2＝0．995，zα／2＝z0．005＝2．576．
以后当我们提到一个随机变量X的“概率分布”时指的是它的分布函数；或者，当X是离散型随机变量时指的是它的分布律，当X是连续型随机变量时指的是它的概率密度（或密度函数）．
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