下面介绍3种常见的离散型随机变量．
1．两点分布
若随机变量的X分布律为
则称X服从参数为p的两点分布或（0－1）分布，记为X～B（1，p）．
写成分布侓表形式见下表2－4
表2－4
2．二项分布
若随机变量的X分布律为
则称X服从参数为n，p（0＜p＜1）的二项分布（binomial distribution），记为X～B（n，p）．
若X～B（n，p），显然满足：
在n重伯努利试验中事件A发生k次的概率计算公式为
可知，若X～B（n，p），X就可以用来表示n重伯努利试验中事件A发生次数的数学模型．例如，从一批足够多的产品中任意抽取n件，其中“废品”件数的概率分布；随机抛掷硬币n次，落地时出现“正面”的次数等等．
顺便指出，两点分布可看作n＝1时的二项分布．
在n重伯努利试验中，若
例2．2．3 设种子发芽率是80％，种下5粒，用X表示发芽的粒数，求X的概率分布．
解 种下5粒种子可以看作同样条件下的五次重复独立试验，故X～B（5，0．8），则
算出具体数值如表2－5：
表2－5
例2．2．4 某人进行射击，设每次射击的命中率为0．02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率．
解 将一次射击看成是一次试验，设击中的次数为X，则X～B（400，0．02）．X的概率分布为
于是
P（X≥2）＝1－P（X＝0）－P（X＝1）
＝1－（0．98）400－400（0．02）（0．98）399＝0．997．
由例2．2．4的计算我们看到，有时二项分布的概率计算很麻烦，下面的定理给出了二项分布当n很大而p很小时的近似计算方法．
定理2．2．1 （泊松（Poisson）定理） 设λ＞0是一常数，n是正整数．若npn＝λ，则对任一固定的非负整数k，有
对任意固定的k（0≤k≤n），当n→∞时，
例2．2．5 利用泊松定理近似计算例2．2．4中的概率P（X≥2）．
本例中的概率很接近于1，这说明小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成了大概率事件，这也告诉人们绝不能轻视小概率事件．
3．泊松分布
若随机变量X的分布律为
则称X服从参数为λ的泊松分布（poisson distribution），记为X～P（λ）．
显然：（1）P｛X＝k｝＞0；
对于泊松分布P（λ），通常也记为X～p（k；λ）．
Poisson分布是作为二项分布的近似，它是1837年由法国数学家泊松引入的，若把n重伯努利试验中成功概率p值很小的事件叫做稀有事件，则由上面定理当n充分大时，n重伯努利试验中稀有事件发生的次数近似服从Poisson分布．这时，参数λ的整数部分［λ］恰好是稀有事件发生的最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件、意外事故、故障、非常见病、自然灾害等，都是稀有事件．
Poisson分布在各领域中有着广泛的应用，它常与单位时间（单位面积、单位产品等）上的计数过程相联系．一是在社会生活对服务的要求领域：如某单位时间内电话机接到的呼唤次数；某单位时间内候车的乘客数；某页书上的印刷错误的个数；1平方米内，玻璃上的气泡数等等都近似服从Poisson分布．另一领域是在物理学．放射性物质在某单位时间内放射的粒子数、热电子的发射、显微镜下落在某区域中的血球或微生物等都可以用Poisson分布来描述．
例2．2．6 设一批产品共2000个，其中有40个次品．随机抽取100个样品，作有放回抽样．求样品中次品数X的概率分布．
解 解法1 样品中的次品数X服从二项分布，即X～B（100，0．02），
解法2 因为抽取样品数n＝100较大，且p＝0．02较小，所以可由泊松分布来计算，其中λ＝100×0．02＝2，故有
为了便于同学们对这两种计算结果进行比较，现将两种计算结果列表如下：
表2－6
从表2－6中可以看出，两种分布对应的概率计算是相当近似的．
例2．2．7 设儿童在注射乙肝疫苗产生不良反映的概率为0．001，试确定2000个儿童中有3个以及多于两个儿童产生不良反应的概率．
从而可得
例2．2．8 保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率．保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0．0020，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从公司领20000元保险金．试问：
（1）保险公司亏本的概率．
（2）保险公司赢利不少于10万元、20万元的概率．
解 每年1月1日，保险公司的收入30万元＝120×2500，若一年中死亡x人，则保险公司这一年应付出20000x元，因此“公司亏本”意味着20000x＞300000，即x＞15人，这样｛公司亏本｝这一事件等价于｛一年中多于15人死亡｝的事件，从而求｛一年中多于15人死亡｝的概率．若把｛参加保险的一个人在一年中是否死亡｝看作一次随机试验，则
设X为一年中这些参保人员里死亡的人数，则X～B（2500，0．002）
对n＝2500，p＝0．002，有λ＝np＝2500×0．002＝5，经查Poisson分布表，可得：
（2）赢利不少于100000元，则意味着300000－20000x≥100000⇒x≤10；赢利不少于200000元，则意味着300000－20000x≥200000⇒x≤5；故
P｛保险公司赢利不少于100000元｝＝P｛X≤10｝
P｛保险公司赢利不少于200000元｝＝P｛X≤5｝
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