【摘要】：例2．4．2 已知X的密度函数为f X（x），求：Y＝a X＋b（a≠0）的密度函数f Y（y）．解 FY（y）＝P｛Y≤y｝＝P｛a X＋b≤y｝将FY（y）关于y求导，即得Y的密度函数为f Y（y）＝F′Y（y）一般地有如下定理：定理2．4．1 设连续型随机变量X的密度函数为f X（x），若y＝g（x）是处处可导且恒有g′（x）＞0（或恒有g′（x）＜
例2．4．2 已知X的密度函数为f X（x），求：Y＝a X＋b（a≠0）的密度函数f Y（y）．
解 FY（y）＝P｛Y≤y｝＝P｛a X＋b≤y｝
将FY（y）关于y求导，即得Y的密度函数为
f Y（y）＝F′Y（y）
一般地有如下定理：
定理2．4．1 设连续型随机变量X的密度函数为f X（x），若y＝g（x）是处处可导且恒有g′（x）＞0（或恒有g′（x）＜0）的函数，其反函数为x＝g－1（y），则Y＝g（X）的密度函数为
其中α＝min g（－∞），g（＋∞｛ ｝），β＝max g（－∞），g（＋∞｛ ｝）．
证明 仅证g（x）单调递增 ⇒g′（x）＞0⇒［g－1（y）］′＞0
因为在（α，β）内取值，所以
当y≤α时，FY（y）＝P｛Y≤y｝＝0；
当y≥β时，FY（y）＝P｛Y≤y｝＝1；
当α＜y＜β时，因为
FY（y）＝P｛Y≤y｝＝P｛g（X）≤y｝＝P｛X≤g－1（y）｝＝FX（g－1（y））
将FY（y）关于y求导，即得Y的密度函数为
当X是连续型随机变量时，求Y＝g（X）的概率密度的一般方法是：
（1）先求Y的分布函数FY（y）的表达式，并将它由X的概率密度表示；
（2）再由FY（y）对y求导，得Y的概率密度函数f Y（y）．
求Y＝3X＋1的密度函数f Y（y）．
解 先求Y的分布函数FY（y）
将FY（y）对y求导数，得Y的概率密度函数f Y（y）为
例2．4．5 设X～N（0，1），试求Y＝X2的概率密度
解 X的概率密度为
由于Y＝X2≥0，故当y≤0时，有
FY（y）＝P｛Y≤y｝＝P｛X2≤y｝＝0；
当y＞0时，有
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