接下来我们关注一类重要的非离散型随机变量——连续型随机变量。
定义2.4.1 对于随机变量X，若存在一个非负的实函数f（x），使X落在任一区域D上的概率
则称X为连续型随机变量，简称连续量。称f（x）为X的概率密度函数（probability density function），简称密度。
由定义知，密度函数具有以下性质：
（1）f（x）≥0；
（2）
；
（3）X的概率分布函数
；
（4）在f（x）的连续点x处，
。
由（2.4.1）式可知X属于区域D的概率等于概率密度函数在区域D上的积分。令D＝［a，b］，则有
上式中，若令a＝b，则有
即，连续型随机变量取任一定值的概率为零。因此连续量落在开区间与相应的闭区间上的概率相等。
例2.4.1 设X为连续型随机变量，其密度函数为
求（1）常数c的值；（2）P｛X＜0.5｝的值。
解 （1）由概率密度的性质（2）可知，
得c=3/2。
例2.4.2 一电子产品的无故障工作时间X（以小时计）为连续型随机变量，其密度函数为
求（1）常数λ的值；（2）从大批该种产品中抽取3只，恰有一只无故障工作时间小于1050小时的概率。
解 （1）由于
，于是可得λ＝1/1000。
（2）注意到
设3只产品中有Y只寿命小于1050小时，由题意知，Y～B（3，0.6321），那么所要求的概率即为
例2.4.3 一银行服务需等待，设等待时间X（以分钟计）的概率密度为
某人进了银行，且计划等下还要去办另一件事，故打算先等待，如果15分钟后还是没有等到服务就离开银行，设此人在银行实际等待时间为Y。（1）求Y的概率分布函数；（2）问Y是离散量吗？Y是连续量吗？
解 （1）由分布函数的定义知，Y的概率分布函数为
显然，当y≤0时，F（y）＝0；当y≥15时，F（y）＝l；当0＜y＜15时，
即
（2）因为Y的取值范围为［0，15］，Y的取值不可数，所以Y不是离散量。又
，即Y取定值15时概率不为零，所以Y亦不是连续量。因此Y是既非离散又非连续的随机变量。
本教材主要研究离散量与连续量。
下面我们研究几种重要的连续量。
（一）均匀分布
定义2.4.2 设随机变量X具有概率密度
则称X服从区间（a，b）上均匀（uniform）分布，常记为X～U（a，b）。
显然上面的密度函数满足
。
根据密度函数的定义，可知X的概率分布函数为
图2.4.1
设有实数c，l，满足
，则有
上式的值与c无关，即X落在区间［a，b］内任一长度为l的子区间的概率为子区间的长度与（b－a）的比（即几何测度之比），其概率与l成正比，而且仅依赖于子区间的长度，与子区间的位置没有关系。
例2.4.4 杭州某长途汽车站每天从早上6：00（第一班车）开始，每隔30分钟有一班车发往上海。设王先生在早上6：20过X分钟到站，且设X服从（0，50）上均匀分布。（1）求王先生候车时间不到15分钟的概率；（2）如果王先生一个月中有两次按此方式独立地去候车，求他有一次候车不到15分钟，另一次候车大于10分钟的概率。
解 X～U（0，50），由题意知，只有当王先生在图2.4.2中画阴影的时间区间内到达时，候车时间会小于15分钟，
图2.4.2
阴影区间的长度为25，所以
（2）同样可知，如果王先生在6：30以后至6：50之间或7：00至7：10之间到达车站，则他的候车时间要大于10分钟，所以
设
那么所要求的概率为
（二）正态分布
定义2.4.3 设随机变量X具有概率密度
其中参数
，则称X服从参数为（μ，σ）的正态（normal）分布，或简称X为正态量，记为
。
其相应的分布函数为
显然，f（x）≥0。下面来证明
。
记
，作积分变量变换，令
，则
于是
通过将积分变量变换成极坐标形式，得
这样就得到I＝1。
正态密度f（x）具有以下性质：
（1）f（x）关于x＝μ对称；
（2）
；
（3）
。
图2.4.3 正态分布概率密度
由图2.4.3所示的密度曲线图可知，X的取值是中间（μ附近）大，两头（离μ远的地方）小，而且是对称的（关于x＝μ）。
人们常称正态变量的参数μ为位置参数，因为μ给出了密度对称轴的位置及X的取值集中的位置；称σ为尺度参数，因为密度曲线的尺度（图形的形状）完全由σ决定（却与μ无关）。
σ越大，曲线峰越低，越扁平，X在μ附近取值的概率（即相应的曲边梯形的面积）越小，即X取值越分散，故σ是反映X取值分散程度的一个指标量。
特别地，当μ＝0，σ＝1时，若记这时的正态量为Z，Z～N（0，1），称Z服从标准正态分布（standard normal distribution），其概率密度为：
图2.4.4
其相应的分布函数为
显然标准正态密度关于y轴对称，由此可得，对于任一实数：x＞0
同时，当
时，对于任意的实数a，b，a＜b，有
作积分变量变换，令
，得
此时的被积函数为标准正态密度，故有
这样将正态变量的概率计算归结为标准正态分布函数值的计算问题。而这些数值可查本书附表2。
若
，由（2.4.5），（2.4.6）式可得
当k＝1，2，3时，查附表2可得
图2.4.5
可以发现，以上概率值与μ，σ的取值无关（总结在图2.4.5中）。
例2.4.5 用天平称一实际重量为a的物体，天平的读数为随机变量
。当σ＝0.01时，（1）求读数与a的误差小于0.005的概率；（2）求读数至少比a多0.0085的概率；（3）若重复称3次，求3次中恰有1次“读数与a的误差小于0.005”的概率。
解 （1）由（2.4.6）式，并查附表2，得
（2）
；
（3）设3次中有Y次“读数与a的误差小于0.005”，则Y～B（3，0.3830），因此
例2.4.6 上例的计算中正态分布的值可以通过Excel表单简单得出。例如计算P（X－a＜0.0085），具体如下：在Excel表单的任一单元格输人“＝”
在主菜单中点击“插入”
“函数（F）”
在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”
选择“NORMDIST”点击“确定”
在函数参数表单中输人“X＝0.0085，Mean＝0，Standard_dev＝0.01，Cumulative＝TRUE”，然后点“确定”
即在单元格中出现“0.802337508”。
例2.4.7 设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从
，已知有25％的天数超过400辆，有33％的天数不到350辆，求μ，σ。
解 已知P｛X＞400｝＝0.25，P｛X＜350｝＝0.33，查表得
在自然界与社会现象中许多量可用（或近似用）正态量来描述，那些我们经常可以看到的（自然形成的）沙堆、谷堆、煤堆以及远处的某些山的轮廓线，常常会让人们联想到正态密度曲线。我们身边的许多量，如同一年龄段的人的身高，体重（但视力测量值不是正态量）；一个地区某一时段的降雨量；某公司普通职工的收入；医院里许多化验的指标量等等，一般均可将其视为正态量，在第五章中我们还可以看到正态量的更多应用。
（三）指数分布
定义2.4.4 设随机变量X具有概率密度
其中λ＞0，则称X服从参数为λ的指数（exponential）分布，记为X～E（λ）。
显然有
。
其相应的分布函数为
当X～E（λ）时，对任意的
，我们有
或写成
。
若将X看成某电子产品的寿命（以小时计），则（2.4.10）式可解释为：“在已知产品用了
小时没有坏的条件下，再用t小时不坏”的条件概率等于这产品“最初使用t小时不坏”的概率。形象地说这产品“忘却”了“已使用
小时”。所以常将（2.4.10）式形象地称作指数分布的“无记忆性”。
指数分布概率密度
图2.4.6
例2.4.8 设一地段相邻两次交通事故间隔时间（以小时计）X服从参数λ＝1/6.5的指数分布。（1）求8个小时内没有发生交通事故的概率；（2）已知已过去的8个小时中没有发生交通事故，求在未来的2小时内不发生交通事故的概率。
解 （1）X～E（λ），λ＝1/6.5，则
（2）由（2.4.10）式知
有人说指数分布的无记忆性不好理解，但看了例2.4.8（2）中的等式
后就有点感觉了吧！
例2.4.9 有编号为1，2，3的3个同类设备。已知它们正常运行时间均服从参数为λ的指数分布。现1号，2号设备已在一系统中独立运行，当其中1台损坏时由3号接替运行。求3个设备运行到最后的不是3号设备的概率。
解 不妨设1号先损坏，由于指数分布具有无记忆性，由3号接替后开始考虑2号再正常运行t单位时间的概率应与3号正常运行t单位时间的概率相等，所以得到“运行到最后的不是3号设备”的概率应为1/2。
（四）其他连续型随机变量
定义2.4.5 设随机变量X具有概率密度
其中参数α＞0，β＞0，则称X服从参数为（α，β）的Г（Gamma）分布，记为X～Г（α，β）。
（2.4.11）式中的
。特别地，当n为正整数时，有
。
定义2.4.6 设随机变量X具有概率密度
其中参数α＞0，γ＞0，则称X服从参数为（>α，γ）的二参数威布尔（Weibull）分布。
定义2.4.7 记随机变量X具有概率密度
其中参数a＞0，b＞0，则称X服从参数为（a，b）的β（Beta）分布，记为X～β（a，b）。
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