随机变量的分布函数

由前可知，若X是随机变量，对∀x∈R，则｛X≤x｝表示随机事件，所以P｛X≤x｝有意义．对于∀a＜b∈R时，有

P｛a＜X≤b｝＝P｛X≤b｝－P｛X≤a｝．

可见，只要对一切实数x给出概率P｛X≤x｝，则任何事件｛a＜X≤b｝及它们的可列交、可列并的概率都可求得．从而对∀x∈R，P｛X≤x｝完全刻划了随机变量X的统计规律，并决定了随机变量X的一切概率特征．不难看出，P｛X≤x｝的值常随不同的x而变化，它是x的函数，我们称这函数为分布函数．

定义2．1．2 设X是Ω上的随机变量，对∀x∈R，函数

F（x）＝P｛X≤x｝ 　（2－1）

称为X的分布函数（distribution function）．

由定义知，分布函数F（x）是一个定义在实数轴上的普通函数，它可以完整地描述随机变量的取值规律，也就是说，若已知随机变量的分布函数，则任意随机事件的概率就可以用分布函数表示出来．

对于∀x1＜x2∈R，有

P（x1＜X≤x2）＝P（X≤x2）－P（X≤x1）＝F（x2）－F（x1）． 　（2－2）

下面给出随机变量X的分布函数的基本性质：

（1）分布函数单调不减，即∀x1＜x2∈R，有F（x1）≤F（x2）；

事实上，若∀x1＜x2∈R，有｛X≤x1｝⊂｛X≤x2｝，｛X≤x2｝－｛X≤x1｝＝｛x1＜X≤x2｝，则F（x2）－F（x1）＝P｛x1＜X≤x2｝≥0，因此F（x1）≤F（x2）．

（2）F（x）是有界的，即 0≤F（x）≤1，且

（3）F（x）是右连续性的函数，即

对∀x0∈R，有F（x0＋0）＝F（x0）（或（x）＝F（x0））．

为了便于计算X在某些范围内取值的概率，下面给出公式：

F（x）是随机变量X的分布函数，对于∀a＜b∈R，有

P（X＝a）＝P（X≤a）－P（X＜a）＝F（a）－F（a－0）；

P（X＞a）＝1－P（X≤a）＝1－F（a）；

P（X≥a）＝1－P（X＜a）＝1－F（a－0）；

P（a＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）＝F（b－0）－F（a）；

P（a＜X≤b）＝P（X≤b）－P（X≤a）＝F（b）－F（a）；

P（a≤X＜b）＝P（X＜b）－P（X＜a）＝F（b－0）－F（a－0）；

P（a≤X≤b）＝P（X≤b）－P（X＜a）＝F（b）－F（a－0）．

例2．1．1 已知X的分布函数为

求：P｛X≤3｝；P｛X＝1｝；P｛X＞1／2｝；P｛2＜X＜4｝．

解

P｛X≤3｝＝F（3）＝1；

P｛X＝1｝＝F（1）－F（1－0）＝2／3－1／2＝1／6；

P｛X＞