随机变量的概率分布函数

前面我们介绍了离散型随机变量及其概率分布律。但实际上也有许多随机变量的取值是不可列的，因此就不能用概率分布律来描述其概率分布规律。例如，打靶时弹着点离开靶心的距离；一地区成年男子的身高；一批产品的寿命；在职职工个人月收入，等等，这些量均不可列，不是离散量。事实上，我们也不关心这类量取某一定值的概率，而是关心其落在某些区域的可能性大小。例如，我们可能会关心事件“打了8环以上”，“身高大于170cm”，“寿命大于1000小时且小于2000小时”，“职工月收入低于3000元”的概率。下面我们引入概率分布函数的概念。

定义2.3.1　设X为一随机变量，x为任意实数，函数

称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数（distribution function）。

图2.3.1

几何地来看分布函数，将X设想成一随机点，那么X落在区间（－∞，x］上的概率即为F（x）（如图2.3.1所示）。

例2.3.1　随机变量X～0－1（p）分布，0＜p＜1。求（1）X的概率分布函数及其图形；（2）P｛X≥1｝的值。

解　（1）由题意知，X具有概率分布律

那么X的分布函数为

概率分布函数的性质：

（1）F（x）单调不减；

因为F（x）为事件｛X≤x｝的概率，所以有0≤F（x）≤l。

（3）F（x＋0）＝F（x），即F（x）是右连续函数（证略）。

图2.3.2

例如本节例2.3.1中的F（x）（见图2.3.2）在x＝0，1点上为右连续，在其他点上均为连续函数。

图2.3.3

例2.3.2　设一醉汉在A，B两点间移动，A，B两点间的距离为3个单位。A，B两点有障碍物，他停留在A，B两点的概率均为1/4。设他离开A的距离为X，且落在A，B两点间任一区间的概率与区间长度成正比，求X的概率分布函数。

解　由题意知，P｛X＝0｝＝P｛X＝3｝＝1/4。

设比例常数为k，则

得k＝1/6。显然有，当：x＜0时，F（x）＝0；

当x＝0时，F（x）＝1/4；当x≥3时，F（x）＝l。而当0＜x＜3时，