二维随机变量的定义及其分布函数

定义3．1．1 设E是一个随机试验，它的样本空间为Ω＝｛ω｝．设X＝X（ω）与Y＝Y（ω）是定义在Ω上的两个随机变量．则由X，Y构成的二维向量（X（ω），Y（ω））称为二维随机向量（2－dimensional random vector）或二维随机变量（2－dimensional random varible），简记为（X，Y）．

类似地，可定义n维随机向量或n维随机变量（n＞2）．

设E是一个随机试验，它的样本空间为Ω＝｛ω｝．设X1（ω），X2（ω），…，Xn（ω）是定义在同一个样本空间Ω上的n个随机变量．则称向量（X1（ω），X2（ω），…，Xn（ω））为Ω上的n维随机向量或n维随机变量，简记为（X1，X2，…，Xn）．

二维随机变量（X，Y）的性质不仅与X及Y有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系．因此，逐个的来研究X或Y的性质是不够的，还需要将（X，Y）作为一个整体来进行研究．和一维随机变量的情形类似，我们也借助“分布函数”来研究二维随机变量．

定义3．1．2 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意的实数x，y，称二元函数

F（x，y）＝P｛X≤x，Y≤y｝ 　（3－1）

为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数．

类似地，可定义n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的分布函数．

设（X1，X2，…，Xn）为n维随机变量，对于任意的实数x1，x2，…，xn，称n元函数F（x1，x2…，xn）＝P｛X1≤x1，X2≤x2，…，Xn≤xn｝

为n维随机变量（X1，X2，…，Xn）的联合分布函数．

分布函数F（x，y）的几何解释：如果把二维随机变量（X，Y）看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F（x，y）在（x，y）处的函数值就是随机点（X，Y）落在以点（x，y）为顶点的左下方无穷矩形区域内的概率（如图3－1所示）．

依照上述解释，可以算出随机点（X，Y）落在矩形｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝区域内的概率为

P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝＝F（x2，y2）－F（x1，y2）－F（x2，y1）＋F（x1，y1）． 　（3－2）

图3－1

分布函数F（x，y）具有以下基本性质：

①F（x，y）分别对x和y单调不减，即

对∀固定的y，当x1＜x2时，F（x1，y）≤F（x2，y）；

对∀固定的x，当y1＜y2时，F（x，y1）≤F（x，y2）．

②0≤F（x，y）≤1，且

④对∀x1＜x2∈R，y1＜y2∈R，下述不等式成立：

F（x2，y2）－F（x1，y2）－F（x2，y1）＋F（x1，y1）≥0．

二维随机变量（X，Y）作为一个整体，它具有分布函数F（x，y），而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，分别记为FX（x）、FY（x），依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数（marginal distribtion function）．由于（X，Y）的分布函数F（x，y）完全决定了它的概率特征，因而也就完全决定了它的各分量X和Y的概率特征．这样边缘分布函数就可以由（X，Y）的联合分布函数F（x，y）确定．事实上

FX（x）＝P｛X≤x｝＝P｛X≤x，Y＜＋∞｝＝F（x，＋∞），　（3－3）

FY｛x｝＝P｛Y≤y｝＝F（＋∞，y）．　（3－4）