连续性随机变量及其概率密度函数

上一节我们讨论了离散型随机变量，下面我们将研究另一类重要的随机变量——连续型随机变量．

定义2．3．1 设X是随机变量，F（x）是它的分布函数，若存在一个非负可积函数f（x），使得对任意的x∈R，有

则称X为连续性随机变量，其中f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数（density function）．

由定义显然可知，连续性随机变量X的分布函数F（x）是连续函数．

密度函数具有如下性质：

（1）非负性：f（x）≥0，x∈R；

由（2－11）式知道，F（x）的值等于以（－∞，x］为底，以曲线y＝f（x）为顶的曲边梯形的面积．由性质（2）知道，介于曲线y＝f（x）与x轴之间的平面图形的面积为1；由性质（3）知道，X落在区间（a，b］的概率P｛a＜X≤b｝等于以曲线y＝f（x）为曲边，底为区间（a，b］的曲边梯形的面积．

（4）若f（x）在x处是连续的，则有F′（x）＝f（x）；

由性质（4）知，在f（x）连续点x处有

这种形式恰与物理学中的线密度的定义相类似，这也就是为什么称f（x）为概率密度的缘故．

（5）若X是连续型随机变量，对∀a∈R，有P｛X＝a｝＝0．

由此可知：概率为0的事件不一定是不可能事件，称之为几乎不可能事件；同样概率为1的事件也不一定是必然事件．

由于连续型随机变量取单点值得概率为0，因此，计算连续型随机变量X落在某区间的概率时，区间是否包含端点是无需考虑的．因此，对于连续性随机变量X，若a＜b，有函数．

（1）常数C；（2）数a，使P｛X＞a｝＝P｛X＜a｝；（3）数b，使P｛X＞b｝＝0．05．

例2．3．4 设某随机变量X的分布函数为

F（x）＝A＋Barctanx（－∞＜x＜＋∞），

试求：（1）系数A与B；

（2）X落在（－1，1］内的概率；

（3）求X的密度函数f（x）．

例2．3．5 设X的分布函数为

试求：（1）A；（2）P｛0．3＜X＜0．7｝；（3）X的密度函数f（x）．

（2）P｛0．3＜X＜0．7｝＝F（0．7－0）－F（0．3）＝0．72－0．32＝0．4

例2．3．6 设某随机变量的分布函数为

解