二维连续型随机变量及其分布

定义3．1．5 设（X，Y）为二维随机变量，F（x，y）为其联合分布函数．若存在非负可积的函数f（x，y），使对∀（x，y）∈R2，有

则称（X，Y）为二维连续型随机变量，称f（x，y）为（X，Y）的联合分布密度或概率密度．概率密度f（x，y）具有如下性质：

①非负性：f（x，y）≥0；

②规范性

③若f（x，y）在点（x，y）连续．则有

④设D为x Oy平面上的任一区域，点（X，Y）落在D内的概率为

（该公式为的扩充）

设（X，Y）为二维连续型随机变量，其概率密度f（x，y），

由则

X是一个连续型随机变量，其概率密度为

同样，Y也是一个连续型随机变量，则其概率密度为

我们分别称f X（x），f Y（y）为（X，Y）关于X和Y的边缘概率密度．

例3．1．3 已知二维随机变量（X，Y）具有密度函数

试求：（1）常数c，F（x，y）及FX（x），FY（y），f X（x），f Y（y）；

（2）P｛（X，Y）∈G｝．其中G由x＝0，y＝0及x＋y≤1围成．

例3．1．4 设随机变量X，Y具有联合密度函数

求边缘概率密度函数f X（x），f Y（y）．

解 由

例3．1．5 已知二维随机变量（X，Y）具有密度函数

试求：（1）常数c；（2）f X（x），f Y（y）；（3）P｛Y＋X≤1｝

解 （1）设D＝ （x，y）0＜x＜｛ ｝y

得c＝1

（3）设G＝｛（x，y）x＋y≤1｝，D＝｛（x，y）0＜x＜y｝．

例3．1．6 求二维正态随机变量的边缘概率密度．

同理

我们看到二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于ρ，亦即对于给定的μ1，μ2，σ1，σ2，不同的ρ对应不同的二维正态分布，它们的边缘分布都是一样的．这一事实表明，对于连续型随机变量来说，单由关于X和Y的边缘分布，一般也不能确定X和Y的联合分布．