随机变量及其概率分布讲解

【背景简介】

物理实验中，除了存在着不能完全控制的因素而导致随机误差必然存在外，被测量对象本身也具有随机性。例如宏观热力学量（温度、密度、压强等）的数值都是统计平均值，原子核等微观领域的统计涨落现象也非常突出。这就使得实验观测值不可避免地带有随机性，必须用概率论和数理统计的方法来处理实验数据，为此，需要研究随机变量的概率及其概率分布。

1.1.1　随机变量和概率分布函数

（1）随机变量

当我们观测某物理量时，某一观测值的出现是随机事件，而观测值是随机变量。

现在用更为普遍的数学语言来描述：在一定条件下，现象A可能发生，也可能不发生，而且只有这两种可能性。将发生现象A的事件称为随机事件A。如果在一定条件下进行了N次试验，其中，事件A发生了NA次，则比值NA/N称为事件A发生的概率。当N→∞时，频率的极限称为事件A的概率，记为Pr（A），即

不同的随机事件由不同的数来表示，这个数便是随机变量。随机变量有两种类型：只能取有限个或可数个数值的随机变量称为离散型随机变量；可能值布满整个区间的随机变量称为连续型随机变量。

随机变量全部可能取值的集合称为总体（或母体）。总体的任何一个部分称为样本（或子样）。在实际试验中，对某量做有限次观测，测量结果总是获得某随机变量的样本。

对随机变量的描述，不仅要了解它的可能取值，而且还必须了解可能值的概率。

（2）分布函数、概率函数和概率密度函数

设有随机变量X，它的取值x可以排列在实轴上，其概率分布用分布函数P（x）表示。P（x）在x处的取值，等于X取值小于等于x这样一个随机事件的概率

P（x）＝Pr（X≤x）　　　（1.1.2）

按定义，它必须满足

P（－∞）＝0；P（∞）＝1　　　（1.1.3）

离散型随机变量X只能取可能的数值x＝x1，x2，x3，…，记为xi。除了分布函数以外，还用概率函数来描述它的概率分布。当x取值为xi时，其概率分布为P（xi），简写为Pi，即X＝xi的概率

Pi＝Pr（X＝xi）　　　（1.1.4）

概率函数和分布函数的形状如图1.1.1所示。因概率总和等于1（归一化条件），则

钞Pi＝P（∞）＝1　　　（1.1.5）

图1.1.1　离散型随机变量X的概率函数和分布函数

对于连续型随机变量X，可引入概率密度函数p（x）＝d P（x）/d x来描述概率分布，则