边缘分布函数的设定

7.3.2.1　超越阈值分布的选择

为获得联合分布函数，首先需要确定边缘分布和概率密度函数，本文将采用近年来发展起来的POT（peaks over threshold）极值理论来选择和构建^[5]，其中广义帕累托分布（general Bareto distribution，GPD）关注超过某一阈值的分布状况，是应用广泛的一种POT模型：

设每日收益的随机变量ri（i＝1，2）是独立同分布的，它们的共同分布为F（x）＝Pr（ri≤x）。选取一个阈值u，使得小于F支撑集的右端点，即u＜ω（F）＝sup｛x：F（x）＜1｝。我们记r为任意的ri（i＝1，2）并定义超越阈值u的超额数y的条件概率分布为

称Fu（y）为超阈值分布。y＝r-u为极端估计量，且xF≤∞是分布的右端点。随机变量r通常落在0与u之间，所以，在此区间内估计F（u）是容易的。然而，要对分布的一部分F（u）做出估计，却并非易事，而极值理论将为此提供最优的条件极端分布函数。

Balkema ＆Haan（1974）和Pickands（1975）已证明，对充分大的阈值u，超阈值分布近似为广义帕累托分布

式中：β（u）为与u有关的正函数，表示尺度参数；ξ（∈R）为分布的形状参数；尺度参数β（u）和形状参数ξ决定着广义帕累托分布的具体形状。当ξ＞0时，F来自Fréchet分布簇，Gξ，β（u）为重新参数化的普通Pareto分布，它具有厚尾特征；当ξ＝0时，F来自Gumbell分布簇，Gξ，β（u）为指数分布，它与指数分布相对应，具有正常的尾部；当ξ＜0时，F来自Weibull分布簇，Gξ，β（u）为ParetoⅡ型分布，它具有薄尾特征。

由于GPD能够对收益序列的尾部进行很好的拟合，本文将使用GPD对收益序列的上、下尾部进行建模，并对处于上、下尾部之间的收益采用经验分布进行模拟。这样，权益收益序列的边缘分布为

7.3.2.2　阈值的选择

在对参数β和ξ估计之前，需要选择合适的阈值u。若阈值过高，将导致较少的超越量，估计方差将较大；若阈值太小，将无法满足超越量近似服从广义帕累托分布的条件，估计量将是有偏的。因此，须权衡有偏和方差之间的关系，选择适当的阈值。下面介绍几种较常用的阈值确定方法。

（1）均值超额函数法。均值超越函数e（u）可表示为

式中：r（i）（i＝1，…，n）表示超过阈值的样本观测值；n为超越量。对某个阈值u0，如果超越量分布近似服从参数为β（u0）和ξ的广义帕累托分布，则对大于u0的u，e（u）应该为线性近似的。选择适当的u0（＞0）作为阈值，可使得u≥u0 的e（u）近似为线性。当然，主要的困难在于解释这个线性近似。对于某些u值，实际中经常观测到e（u）的斜率会发生变化。一般，我们观测由点集｛（u，e（u））：u＜max（Xi）｝组成的平均剩余寿命（mean residual life）图。

（2）观察参数ξ的稳定性。选择u的基本原理是，当超额观测近似服从广义帕累托分布时，ξ估计值应是稳定的。具体而言，在阈值范围内，利用超越量估计出GPD的参数β和ξ，若初始阈值u0对应的超出量近似为GPD，则对大于u0的阈值形状参数ξ的估计值应该保持不变，且尺度参数有如下关系

令β′＝β（u）-ξu，若β′与u无关，则称式（7.11）为修正的尺度（modified scale）参数方程。作β′和ξ关于u的图形及与之相对应的置信区间，可选择使这两个估计量能保持为常数的最小值的阈值u。

（3）参数ξ的Hill图示法。令r（1）＞r（2）＞…＞r（n）为独立同分布的有序数列，尾部指数Hill统计量可定义为

为找出合理的阈值，本文将采用上述三种方法来综合判断。具体选择过程如下：首先，通过均值超额函数法大致找出线性阶段的值，并给出其取值范围；例如，对左尾而言，取值为-1，进而给出取值范围［-2，0］。然后，采用逐一尝试的方法，利用参数平稳性和Hill图示法，选择同时使参数为平稳、Hill波动最小且最为稳定的数值，这一数值就是我们所求得的阈值u。