运动流体的层流流态

从雷诺实验中已知实际流体流动中存在层流流态。机械工程中粘滞性较高的油类流动、地下水和石油的流动、化工及环保工程中某些流体的流动等都属于层流流态。本节将讨论定常流体在管道和截面为宽矩形中作层流流动的问题。

对于层流流动问题，比较完整的解决步骤是，利用由不可压缩粘性流体的运动方程和连续性方程组成的N—S方程组，加上适当的边界条件，可以求解得到。当然在条件不具备时，也可以利用理论力学中力的平衡方程得到的定常均匀总流切应力与水力坡度的关系，结合反映层流特点的牛顿内摩擦定律得到部分层流流动成果。

6．3．1　定常均匀总流切应力与水力坡度的关系

对于如图6-4所示的定常总流流动，假定总流的形状和尺寸沿流程无变化，则该总流流动为均匀流，各有效截面上的流速分布是相等的。现取一段长度为l、截面面积为A和湿周为χ的流段1～2来分析，由于为等速流动，则作用在该圆柱体上的重力、两端的总压力以及侧面的切力将处于平衡状态。由力的平衡方程，有

P1－P2+Gsinα－T=0

式中，两端总压力P1=p1A，P2=p2A，p1、p2为两端截面上形心的压强;圆柱体的重量G=ρgAl，sinα=;侧面上的切力T=为侧面上的切应力。整理可得

图6-4　均匀流切应力与水力坡度关系推导示意图

对截面1—1至截面2—2应用总流能量方程，可得式(6-4)，并与上式联立得流段1～2沿程水头损失hf为

或切应力

其中J=为水力坡度，R为水力半径。参看式(5-38)，由于均匀流流动中只有沿程水头损失，此处J是不包括局部水头损失的水力坡度。从推导的假定条件来看，式(6-12)给出了定常均匀流时切应力与沿程水头损失的关系。

式(6-12)的推导，是针对图6-4中1～2流段的整个截面而言的，其中的是指边壁切应力。对于总流截面上的切应力分布，可以采用上述类似的方法分析得到。对于如图6-5所示的圆管均匀流，该圆柱体的中心轴与圆管轴重合，设圆柱体半径为r，作用在圆柱体表面上的切应力为τ，按照上述方法运用力的平衡方程，可得

与式(6-12)圆管边壁上的切应力=ρgRJ=相比较可得

式(6-14)表明在圆管流动中，同一截面上切应力随半径r线性增加，如图6-5所示，管壁处切应力最大为，管轴心处切应力最小为零。

图6-5　截面切应力推导及切应力分布示意图

在分析推导式(6-12)～式(6-14)给出的定常均匀流时切应力与沿程水头损失的关系和圆管切应力变化规律时，没有假定流态，因此对层流流态和紊流流态都同样适用。

6．3．2　圆管中的层流流动

对于层流流动，反映沿程阻力的切应力就是内摩擦应力。可以应用牛顿内摩擦定律表达式(2-12)计算切应力τ。由于圆管均匀流流动为轴对称流动，可以采用原点在管轴处的(x，y)坐标系。而原牛顿内摩擦定律表达式采用的是原点在壁面的(x，y)坐标系。如图6-6所示，两种坐标的关系是y=r0－r，以及微分式dy=－dr，则式(2-12)可以写成

图6-6　圆管层流流动示意图

将上式代入式(6-13)，可得

整理

积分得

式中C为积分常数。由于粘滞性管壁r=r0处，u=0，则积分常数，得圆管层流流速分布式

由式(6-15)可见圆管层流流速分布是以管轴为中心的旋转抛物面，如图6-6所示。管轴处(r=0)有最大流速，即

将流速分布式(6-15)代入流量定义式(4-20)，可得圆管有效截面上的流量

以及由平均流速的定义式(4-25)，可得圆管截面平均流速

式中圆管面积A=，圆管直径d=2r0。

比较式(6-16)、式(6-18)可知圆管截面平均流速是圆管最大流速的一半，即

由式(6-18)可得圆管层流时沿程水头损失表达式

由式(6-20)可见，圆管层流时，沿程水头损失hf与截面平均流速v的一次方成正比。这是由理论得到的一个结论，这个结论在雷诺实验中得到验证，是层流流动的一个特征。

将式(6-20)按达西—魏斯巴赫公式(6-1)形式改写为

式中引入管道雷诺数Re=。对比达西—魏斯巴赫公式(6-1)，圆管层流的沿程损失系数λ为

这个由理论推得的表达式(6-21)已由后面将要介绍的尼古拉兹实验所证得。

将圆管层流流速分布式(6-15)和截面平均流速式(6-18)分别代入式(5-34)和式(5-51)中，可得圆管层流流动时动能修正系数α=2，以及动量修正系数α'=1．33，读者可以自行验证。