流体微团的运动分析

根据柯西－海姆霍茨定理可知，微团的运动可分解为三部分：平移、转动和变形（线变形与剪切变形）。

如图2－1所示，在流场中任取一流体微团，微团中的M0点速度为v0，与其相邻点M的速度为v M，相距的矢径为δr。

图2－1 流体微团的运动分析

假定流场连续，且存在各阶偏导数，当δr→0时，M点的速度可通过泰勒级数展开，忽略二阶以上小量而得，并可分解为迁移速度和相对速度之和。相对速度取决于M0点速度梯度张量，即

而

用矩阵和求和约定符号表示，则为

可见，任意点的速度的导数是由9个分量组成的二阶张量。

另外，任意速度分量的微商可以分解为一个对称和一个反对称分量之和。即

这样，速度的导数张量在直角坐标系中可写成

式中，对称张量εij的各分量分别为

与反对称张量ζij对应，矢量ω的各分量分别为

为了说明上述各量的物理意义，某瞬时在x Oy平面上任取一微元体ABDC，如图2－2所示，A点的速度分量为u和v。由于速度分布连续且存在各阶偏导数，其相邻点的速度可用泰勒级数展开获得。忽略高阶小量后，相邻点的速度分量如下：

经δt时间后，微团移到了新的位置，并发生变形和转动。

图2－2 运动流体微团的变形和转动

x方向和y方向的伸缩率分别为

同理，z方向为

若定义单位时间、单位长度的线变化量为线变形率，则微团在三个坐标方向的线变形率为

三者之和

代表单位体积流体的体积变化率。

此外，B点的y向分速度与A点的不同，从而使AB线绕A点转动，经δt时间的转动角度为

AC线绕A点的转动角度为

因此，原来各边互相垂直的微团在流动过程中发生角度变化。单位时间的角度变化为

若定义单位时间微团角度变化量之半为剪切变形率，则x Oy平面上的剪切变形率为

同理，y Oz平面上的剪切变形率为

x Oz平面上的剪切变形率为

上述分析表明，速度导数张量中的对称张量是变形率张量，各分量代表流体微团的变形率分量，可写成

变形率张量是二阶对称张量，主对角线上的分量代表线变形率，其余代表剪切变形率。

按张量分析，二阶对称张量具有三个与坐标轴选取无关的张量不变量。变形率张量的三个不变量分别为

根据对称张量的性质，还存在一个使非主对角线上各分量为零的坐标系，此坐标系的轴称为二阶张量的主轴。在主轴坐标系中，变形率张量只有主对角线上的三个分量，即

ε1、ε2和ε3称为流体直线变形率的主值。

主轴坐标系中变形率张量的三个不变量为

根据图2－2（a）的分析，式（2－4）速度导数张量的反对称部分的分量ωz表示流体微团在x Oy平面上绕z轴的转动角速度，即

同理

角速度与旋度之间的关系为

流体的转动角速度是旋度的一半，称Ω为涡量。

综上所述，流体的任意点对邻近点的相对运动速度是由变形和旋转产生的，可写为