运动流体的紊流流态

从本章§6．2中介绍的雷诺实验和日常流动现象可知，紊流流动比层流流动复杂得多。这是由于紊流中存在大量的作杂乱无章运动的微小旋涡，这些微小旋涡不断地产生、发展、衰减和消亡，使得流体质点在运动中不断地相互碰撞、掺混，并可能产生各种尺度的大旋涡。这些大旋涡也不断地产生、发展和消亡。流体质点的相互碰撞、掺混以及旋涡等使流体的流动在宏观表现上是空间各点的流速、压强等运动要素呈现时大时小的随机变化现象。

针对紊流的这些特点，本节将讨论紊流中流速、压强等运动要素的表示法，讨论紊流的切应力、流速分布以及紊流的结构，等等。

6．4．1　紊流的特征和运动要素的时均化

根据大量的实验观测，紊流具有有涡性、不规则性、随机性、扩散性、耗能性、连续性、三维性以及非定常性等特征。

对于粘性流体，无论是层流还是紊流，其流体内部是存在大小不等的涡体的。但紊流内的涡体与层流内的涡体有很大不同。紊流内的涡体除了随流动的总趋势向某一方向运动以外，还同时在各个方向上有不规则的运动。流体内的所有质点，都将在这些涡体的影响下移动、运行、旋转、震荡等，各质点的运动轨迹完全没有规则，这就是紊流的有涡性和不规则性。这个无规则运动使紊流呈现三维紊动特点，也就是各坐标点的运动要素在三个方向都会随时间出现时大时小的现象。这种现象也称为紊流运动要素的波动现象或脉动现象，也表示了紊流在实质上是非定常的。并呈现随机性。

紊流的连续性是指紊动中的质点以及涡体都是连续的，是充满整个流场空间的，受到连续性方程的制约。紊流的扩散性是指流体质点受涡体的影响在各个方向所作的不规则运动(即涡体紊动)，使得紊流具有传质、传热和传递动量等扩散性能，也就是紊动可以将流场中某一地方的物质(如泥沙、污染物等)或物理特性(如热量、动量等)扩散到其他各处，或者说通过紊动可以达到散热、冷却和掺混的效果。紊流的耗能性是指涡体对流体质点的紊动过程消耗更多的能量，相关试验证明，紊流中的能量损失比同等条件下的层流大得多。

应用超音测速仪(ADV)测量水槽定常紊流流动中某点的流速，图6-7给出了该仪器所测的某点流速分量ux随时间的变化曲线。从这些曲线中可以看出，该点各流速分量随时间的变化好像是完全杂乱无章的。但观察较长的时间过程，可以发现这些变化的量都围绕着某一平均值随机地上下变化。在用毕托管测量流速时，可以观察到比压计的液面在上下跳动，读数时只能读取平均数。这些就是前述的紊流运动要素的波动现象或脉动现象。

图6-7　流速测量成果图

在此可以将紊流中仪器所测的流速分量ux、uy、uz称为瞬时流速分量，将经过某一足够长时段ΔT观察到的平均值称为时均流速，以在字母上加横线表示，如，其定义式为

式中时段ΔT的足够长是针对每个波来说较长、约100个波;但对整个流动过程来说，则要足够的短。从图6-7可见，瞬时流速在时均流速值上下波动，存在一差值。在此可以将瞬时流速与时均流速的差值称为脉动流速，以在字母上加上标“'”表示，如、、。这三种量有下列关系

式(6-23)表示了紊流流动中运动要素的瞬时值为时均值和脉动值之和。也就是说可以将紊流流动看做为时均流动和脉动流动的叠加，而分别加以研究。这种研究方法在流体力学中称为时均化的研究方法。

比较式(6-22)和式(6-23)可知，脉动流速的时均值为零，如

如果以时均值为基准线(如图6-7)，瞬时值大于时均值的脉动值为正，瞬时值小于时均值的脉动值为负，式(6-24)反映了在足够长的时段内，正、负脉动值相抵，即脉动值时均化后等于零。

紊流中的压强、温度、密度等运动要素也存在脉动现象，如图6-8给出了使用压强传感器测量紊流中某点的压强随时间变化图。由图6-8可见，瞬时压强也可以由时均压强和脉动压强叠加构成，类似式(6-23)，有

图6-8　压强测量成果图

根据上述紊流特征，紊流实质上都是非定常流。然而，在工程实践中，却又经常大量讨论定常流问题。根据实际紊流中存在时均流动的特点，可以将描述紊流的运动要素做时均化处理。凡是时均化后的运动要素与时间无关的则为定常流，而与时间有关的则为非定常流。前面章节所讨论的有关流动的概念、方程及方法，对时均化以后的紊流都适用。后面各章所讨论的紊流运动，其运动要素都是针对时均值而言的，在用表达式表达时均略去字母上的横线，如写成u写成p。

6．4．2　紊流切应力

从前面的叙述已知，在层流流动中由质点相对运动所产生的粘性切应力，其大小可以用牛顿内摩擦定律来计算。而紊流流动中，除了有质点相对运动所产生的粘滞性切应力外，还有因涡体及紊动使质点不断地相互碰撞、掺混和不规则跳动等脉动而产生的附加切应力。这就是说紊流切应力τ由两部分组成，一部分是粘滞性切应力τ1;另一部分是附加切应力τ2，即

紊流切应力中的粘性切应力τ1与层流时一样，可以应用牛顿内摩擦定律来计算，如以图6-9所示的流体沿一个固体平面作平行的直线流动为例，有表达式

式中流速应为时均流速，图中的直线流动以x为流动方向。

关于附加切应力的计算方法，目前在实际工程中主要依靠一些紊流半经验理论。紊流半经验理论的思想主要是模拟分子运动来建立由于脉动引起的紊流附加切应力与时均流速之间的关系。普朗特的混合长度理论是这些紊流半经验理论中的主要代表。

图6-9　附加切应力推导示意图

普朗特的混合长度理论的基本点是动量传递理论。这个理论认为:由于紊流中脉动的存在，流体质点在一定的距离内移动、掺混产生动量交换和改变，动量交换和改变的结果是质点之间产生不同于粘滞力的内摩擦力，这个内摩擦力就是附加切应力。关于质点脉动过程中动量的改变，这个理论还作了以下假定，即流体质点的流速、动量等从一流层脉动到另一流层的路程上，始终保持不变，只是脉动到达另一流层后，和那里的流体质点发生掺混，将自己的流速、动量突然改变为当地的流速、动量。

现运用动量定理，以图6-9所示的流体沿一个固体平面作平行的直线定常流动为例，讨论附加切应力τ2的表达式。图中坐标x为直线流动的方向，流动的时均速度的分布如图6-9(a)所示。设流层1上某一流体质点有Ox轴向脉动速度和Oy轴向脉动速度。由于Oy轴向脉动速度作用，使流体质点从流层1经微小面积dA运动到另一流层2，流层1与流层2之间的距离l'假定为与气体分子平均自由行程相当的距离。

在dt时间内，由流层1经微小面积dA流向流层2的流体质量为

dm=ρdAdt

质量dm的流体质点到流层2后与该层上的流体互相碰撞，发生动量交换。而该流体质点原在流层1时，具有Ox轴向流速，在运移过程中Ox轴向流速保持不变，进入流层2后，将表现出一个Ox轴向脉动速度，这个值可以理解为流体质点分别在流层1和流层2时时均流速的差值。在dt时间内动量变化为

dm·=ρdAdt=ρdAdt

根据动量定律，动量的变化等于作用于dm上的外力的冲量，这个外力就是作用在dA上的水平方向的附加阻力dF，有

dFdt=ρdAdt

式中dF就是作用在两流层之间与Ox轴平行的面积dA上的附加切力。而单位面积上的附加切应力为

由于各流层之间流体质点是一直在互相掺混、碰撞的，脉动流速的大小及方向也在瞬时变化，所以由脉动流速所产生的附加切应力应以时均值来表示

由图6-9(a)可知流层1属于较低速流层，流层2属于较高速流层。当＞0，即流体质点从流层1向流层2移动时，由于流层1的时均流速小于流层2的时均流速，使得在大多数情况下有＜0;反之，当＜0，即流体质点从流层2向流层1移动时，在大多数情况下有＞0。所以为保持附加切应力为正，式(6-29)中应加以负号。

由于附加切应力式(6-29)中包含脉动流速、，不便于应用，下面将根据普朗特动量传递理论的假定，建立用时均流速表示脉动流速、的附加切应力表达式。

如图6-9(b)所示，受脉动的影响，在流层1处有一流体质点并可能向上运动一个微小距离l'到另一流层，如运动到中间流层2。同理，受脉动的影响，在流层3处有一流体质点也可能向下运动一个微小距离l'到中间流层2。其中l'假定为气体分子的平均自由行程。

现设坐标为y的中间流层2上的速度为，坐标为y－l'的流层1上的速度为(y－l')，坐标为y+l'的流层3上的速度为(y+l')。流层1与中间流层2的速度差为

流层3与中间流层2的速度差为

根据前面的叙述，速度差Δux1和Δux2就是Ox轴向脉动速度。由于运动的复杂性，可以认为上述两个速度差的平均值为中间层y处流层的Ox轴向脉动速度，其时均值的绝对值为

Oy轴向脉动速度与Ox轴向脉动速度应为同一数量级，则两者取等式时应有比例常数C1，即

又是不相等的，则两者取等式时应有比例常数C2，即

又令，l2=C1C2l'2，l称为混合长度，与y成正比。将上式代入式(6-29)，则得紊流的附加切应力

在一般情况下可以略去字母上的横线

最后得紊流的切应力

6．4．3　紊流流速分布

对于充分发展的紊流，粘性切应力τ1所占比例较小可以忽略，紊流切应力τ主要是附加切应力τ2，即

由相关实验可知，在固体边界不远处，混合长度l有

式中y为沿边界外法线方向的距离，k为比例系数，也称为卡门通用常数。根据实验成果，卡门通用常数k≈0．4。另根据实验，对于离边界不远的紊流流动，可以近似假定紊流切应力τ为常数，这个常数等于§6．3中所述的边壁切应力τ0，这样式(6-33)可以写成

整理得

注意到式中具有流速量纲，并与边壁切应力τ相关，称为摩阻流速v，也称为剪切流0*速或动力流速，即

则由式(6-35)可得

对上式积分可得紊流流速分布公式

式中C为积分常数。由式(6-38)可知，紊流中各点的流速是该点离固体边界距离的对数函数，故式(6-38)又称为对数流速分布公式。或者说，紊流的速度分布是对数分布，这一点已由许多实验证明。但从式(6-37)和式(6-38)可见，当y→0时，→∞，lny→∞，即该流速表达式不适用于靠近固体边界的底层，即近壁区域。这是对数流速分布公式的一个缺点。

对于圆管，在管道中心y=r0处，有最大流速u=umax;对于宽矩形明渠，认为水面流速为最大流速，即当y=h0时，u=umax。将上述两种情况分别代入式(6-38)，可以确定积分常数C，可以得到圆管紊流和宽矩形紊流的流速分布公式:

圆管

宽矩形明渠

式中:r0——圆管半径;

h0——明渠水深。

这两个公式是具有普遍意义的流速分布一般表达式，对任何均匀紊流都适用，只是常数k要由实验测定。按照平均流速的定义，利用公式(6-39)在圆管截面上积分可得圆管紊流的平均流速v，即

另外还有一种公式，即圆管中指数流速分布公式

式中指数m随雷诺数和管壁粗糙度而改变，指数m的取值范围是。一般地，当雷诺数Re＜105时，有m=或;雷诺数增大时，m值减小，一般取为或。对于m取为的式(6-42)又称为流速分布的七分之一指数定律。

随着对近代紊流理论的深入研究，关于紊流附加切应力的分析研究有了很大进展，已形成较系统的紊流模式理论，对此有兴趣的读者可以参阅相关文献。