思维的法则

1815年11月2日乔治·布尔（图7-1）出生于英国伦敦附近的一座工业小镇上^［204］。他的父亲约翰·布尔（John Boole）虽然只是伦敦的一位制鞋者，但却酷爱数学，并且能熟练制作各种各样的光学仪器。布尔的母亲玛丽·安·乔伊斯（MarryAnn Joyce）是一位贵妇人的贴身女侍。由于老布尔的心思完全不在制鞋生意上，所以家庭的经济条件并不十分宽裕。布尔在7岁之前一直在一所商业学校上学，之后他被送入了一所小学学习，在那里他的老师是约翰·沃尔特·里维斯（John Walter Reeves）。布尔还十分年幼时就喜欢上了拉丁语，他从一位书商那里接受了不少指导。他还对希腊语有深厚的兴趣，不过这就完全是他自学的了。14 岁时他就开始试着把公元前 1世纪的一位希腊诗人墨勒阿格（Meleager）的一首诗作翻译为英文。乔治的父亲对此也感到十分自豪，并把它发表在了《林肯先驱报》（Lincoln Herald）报上，这件事引起了当地一位学校老师的怀疑，并为此还专门写了一篇置疑的文章。由于家庭条件拮据，乔治·布尔在16岁时就不得不设法自己谋生，他通过努力成为了一名助理教师。在此之后的几年里，他把自己的所有业余时间都用来学习语言，他自学了法语、德语和意大利语。这些现代语言学的知识后来被证明是十分有价值的，由于布尔在语言上的天赋，他可以直接阅读西尔威斯特（Sylvestre Lacroix）、拉普拉斯、拉格朗日、雅各宾等著名数学家的原著。然而，布尔始终没有机会接受正规的数学教育和专业训练，但他却坚持不懈地自学，同时还用自己在教学工作中获得的微薄薪水帮助他的父母和兄弟姐妹。生活的重担并没有使布尔放弃对数学的追求，很快他就凭借数学天才崭露头角，在《剑桥数学杂志》这样顶尖的学术刊物上发表文章。

图7-1

在1842年，布尔开始与德摩根定期通信，并把自己的一些数学论文寄给德摩根，希望得到他的指导和意见，这些文章得到了德摩根的高度评价。此后，作为一位富有创见的数学家，布尔名声鹊起，在德摩根的强烈推荐下，布尔在 1849年成为爱尔兰皇后学院的数学教授（那年他34岁），在此后的岁月里，他一直从事教学工作。在1855年，布尔与玛丽·埃佛勒斯（Mary Everest）结为夫妻。玛丽的叔叔乔治·埃佛勒斯是一位测量员，正是他第一次测量了珠穆朗玛峰的高度，也因此珠穆朗玛峰被命名为Everest。不幸的是，布尔49岁时就英年早逝了。在1864年寒冷的冬季的一天，布尔在去往学院的路上淋湿了，但他依然坚持上完了自己的课程，结果他得了伤风。回到家之后，由于受到迷信思想的影响，认为重复病因会治愈疾病，他的妻子把几桶水倒在了床上，这使他的情况变得更加糟糕，布尔的病迅速发展为肺炎，并于 1864年12月8日因病不治离开了人世。伯特兰·罗素毫不掩饰地表达了他对布尔自学精神和能力的崇敬之情，他评价道：“理论数学是被布尔发现的，他的那本《思维的法则》（The Laws of Thought，1854年出版）虽然从本质上讲是一本关于形式逻辑的著作，但同时也是一本研究数学的不可多得的佳作。”引人瞩目的是，在当时，他的妻子玛丽·布尔（Mary Boole，1832—1916）和他们的 5位女儿在各自的领域内（包括教育和化学研究等）都取得了丰硕的成就，并赢得了广泛的赞誉。

布尔在1847年出版了《逻辑的数学分析》，之后在1854年又出版了《思维的法则》（这本书的书名很长，全称为《建立在逻辑和概率的数学理论基础之上的关于思维法则的研究》），它们都是天才的杰作。布尔是第一个对逻辑和算术运算进行类比，并取得了巨大进展的人。布尔基本上是逐字逐句地把逻辑“翻译”为一种代数的语言（后来被称为布尔代数），并把逻辑分析扩展到了概率推理中。按照布尔的话说^［205］：

我写《思维的法则》这本书是为了研究人类思维活动的基础法则，利用这些思维法则，人类才能进行推理；是为了用一种演算的符号语言表示它们，并在此基础上建立逻辑的科学及其方法；是为了让这种方法本身成为应用概率论的通用方法；并且最终从这些探索所发现的各种真理中，搜寻到一些有关人类思维禀性和形成过程的暗示。

布尔的演算既可以理解为在类（成员和对象的集合）中应用关系，也可以用命题中的逻辑来解释。例如，如果 x和 y是不同的类，那么，要是存在诸如x＝y的关系，这就意味着这两个类有完全一样的成员，即使这两种类的定义完全不同也是如此。让我在这里用一个具体的例子说明：假设有一所学校，学校中所有学生的身高都不足 7英尺，那么此时就可以定义两个类，x＝“学校中的所有的学生”和y＝“在学校里所有身高不足 7英尺的学生”，这两个类是完全等价的。如果我们用 x、y代表命题的话，那么x＝y则表示这两个命题是等价的，换句话说，只有其中一个正确，另一个才是正确的。例如，命题 x＝“约翰·巴里莫尔是埃赛尔·巴里莫尔的弟弟”，命题y＝“埃赛尔·巴里莫尔是约翰·巴里莫尔的姐姐”，这两个命题就是完全等价的命题。符号“x·y”代表x和y这两个类的共同部分（也就是既属于 x，同时又属于 y的成员），即命题x与命题y的合取（counjunction，即“x和y”）。例如，x是指村子里所有的傻瓜的类，y是指所有长着黑毛发的物种的类，那么 x·y就是指所有长着黑头发的傻瓜这个类。对于命题x、y来说，复合命题x·y则是指两个命题都成立。例如机动车辆管理人员说：“你必须通过视力测试和驾驶测试。”这就意味着你必须要同时满足两项测试的要求，才能顺利拿到驾驶执照。在布尔看来，对于没有公共部分的两个类，符号“x＋y”代表由类x的所有成员和类y的所有成员共同组成的一个类。而对命题x、y来讲，“x＋y”相当于“要么是 x，要么是 y，但不是同时满足二者”。例如，如果命题x是“桩是正方形的”，命题y是“桩是圆形的”，那么x＋y表示“要么是正方形的桩，要么是圆形的桩”。同样的道理，“x－y”代表着类的成员属于x，但是却不属于y，即命题“是x但不是y”。布尔用1表示那种普适（通用）的类（包含讨论中所有可能的成员），用0代表空（没有一个成员）的类。请注意，这里的空类（或集合）绝对不是指数字0——数字0只是空类中的一员。还需要注意的是，空类并不等同于无，因为一个什么都没有的类仍然是类。例如，如果所有的阿尔巴尼亚的报纸使用的都是阿尔巴尼亚语言文字，那么在布尔的概念体系中，在阿尔巴尼亚这个国家中，所有使用阿尔巴尼亚语言报纸的类可以用 1来表示，而所有西班牙语报纸的类则可以用 0 来表示。对于命题而言，1代表标准的真（例如人都是会死的），0代表标准的假（例如人是永生不死的）。

利用上述的规则，布尔系统地阐述了一套定义逻辑代数的公理。例如，你可以用上面的定义方式，把显而易见的真命题“要么是 x的，要么不是x的”用布尔代数表示为x＋（1－x）＝1，这个算式在一般代数中也是正确的。同样的道理，任何类与空类之间的公共部分都是一个空类，这可以用0·x＝0来表述，这也同样意味着任何命题（不论它是真是假）与一个假命题的合取都是假。例如“糖是甜的和人是永生不死的”产生的是一个假命题，虽然前半部分是正确的。需要再次提醒的是，这种布尔代数“等式”代入代数数字时同样有效。

为了展示他的这种方法的效力，布尔试图利用他提出的逻辑符号表示他认为重要的所有事物，例如，他甚至分析了哲学家塞缪尔·克拉克（Samuel Clarke）与巴鲁克·斯宾诺莎（Baruch Spinoza）之间关于上帝是否存在和上帝有什么特征的辩论。然而，布尔得出的结论却比较悲观：“我认为，首先必须坚信完全靠推理无法证明上帝及其特征、他与世间万物的关系是否存在，否则就不能从克拉克和斯宾诺莎的辩论中得出结论。”虽然布尔结论中有正确的部分，不过很明显，不是所有人都认识到我们无法靠推理证明上帝及其特征、他与世间万物的关系是否存在，因为甚至在今天，证实上帝是否存在这样的属于本体论范畴的有关争论仍然不绝于耳^［206］。

从总体而言，布尔试图用数学的方式表达逻辑连接词和、或者、如果……那么……以及不，这些连接词是今天计算机程序运算和开关电路的核心。因此，布尔被许多人认为是“预言家”，正是他把人类引入了数字时代。尽管如此，由于这是一项开拓性的研究工作，布尔代数在他那个时代还远称不上完善。首先，布尔的著作有点含糊不清，并且由于他的符号表示法与一般代数太过于接近了，因此这也使得他的概念体系有点难以理解；其次，布尔混淆了命题（例如“亚里士多德是不朽的”）、命题函数或谓词（例如“x是不朽的”）和量化陈述（例如“对所有的x，x是不朽的”）之间的区别。弗雷格和罗素后来都认为代数源自于逻辑，人们由此认为，以逻辑为基础构建代数比反过来说更合理。

除此之外，布尔还在逻辑学的其他方面作出了重要的贡献。比如，他认识到了逻辑与类（或集合）的概念之间的关系是非常紧密的。回想一下，我们在前面曾经提到过，布尔代数在类中应用时和在逻辑命题中应用时几乎是完全相同的。事实上，如果集合X中的所有成员也是集合Y的成员（X是Y的子集），这完全可以用一条逻辑蕴涵“如果是X，那么就是 Y”来表达。举个例子，所有的马构成的集合是所有的四条腿动物构成的集合的子集，这一事实可以被重写为：“如果X是一匹马，那么它一定是四条腿的动物。”

布尔的逻辑代数在后来被许多研究者进一步拓展和完善，其中有一个人充分利用了集合和逻辑之间的相似性，从整体上把布尔代数推向一个新高峰，这个人就是戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，图7-2）。

图7-2

弗里德里希·路德维格·戈特洛布·弗雷格（Friedrich Ludwig Gottlob Frege）出生于德国的维斯玛（德国西北部的一个港口城市），他的父亲也出生在那里，他的母亲曾担任过女子中学的校长。弗雷格先在耶拿大学学习数学、物理学、哲学和化学，毕业后又继续在哥廷根大学进修了两年。在完成学业之后，大约在1874年左右他又回到了耶拿大学，在那里开始了他一生的教学生涯，一直教授数学。在繁重的教学工作之余，1879年他还在耶拿大学出版了他的第一部关于逻辑的划时代的著作，这本书的书名很长，全称为《概念脚本：仿效算术方法的纯理论思考的一种形式语言》（Concept-Script，A Formal Language for Pure Thought Modeled on that of Arithmetic）^［207］，事实上这本书更为人们所熟知的是它的另外一个名字 Begriffsschrift。在这本书中，弗雷格开发出了一种原始的逻辑语言，他后来又将该书扩展为两卷本的《数学的基本法则》（Basic Laws of Arithmetic）^［208］。弗雷格的逻辑规划一方面重点突出，但另一方面却又显得极端模糊。虽然他主要关注的是算术，不过他仍然想证明，即使是我们最为熟悉的、诸如 1，2，3，4…这样的自然数，也能被简化为逻辑的结构。因此弗雷格相信我们能从一些逻辑的公理中证明所有的算术真理。换句话说，根据弗雷格的观点，即使是 1＋1＝2这类的算术表达式，也不是以观察为基础的经验主义的真理，而是从一系列逻辑公理推导得出的结论。弗雷格的Begriffsschrift一书影响十分深远，和他同时代的逻辑学家威拉德·范·奥曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908—2000）曾经评价道：“逻辑是一个古老的话题，但是自从1879年之后，它就变成了一门真正的科学。”

弗雷格哲学思想的核心是，真理是独立于人类判断之外的。他在《数学的基本法则》中写道：“‘正确’与‘认为是正确’完全不同，不管它是被一个人认为是正确，还是被很多人认为是正确，甚至是被所有人认为是正确，那也不能等同于是正确的。某些事物是正确的，而所有人都认为它们是错误的，这两者之间并不存在任何矛盾。我认为‘逻辑的法则’的含义不是心理学上‘认为是正确的’那些法则，而是真理法则……真理法则是永恒的界石，我们的思考可能会超越它们，但是永远也不会取代它们。”

弗雷格的逻辑公理通常以“对于所有……如果……那么……”的形式出现^［209］。例如，弗雷格曾经提出一条逻辑公理：“对于所有的P，如果不是（非P），那么是P。”这条公理主要是想说明，如果一个命题与另外一个命题是矛盾的，而且后一个命题是错误的，那么前一个命题就是正确的。举例说，如果“不用必须在一个停车标识前停车”是不正确的，那么绝对应当在停车标识前停车。为了真正发展出一门逻辑的“语言”，弗雷格为公理集补充了一条重要的新特征。他借用数学函数理论的概念替换了传统使用的，经典逻辑的“对象/谓词”模式。这里让我简要地解释一下：当我们写下一个数学表达式，比如f（x）=3x+1，这个表达式表示f是以x为变量的函数，并且该函数的值是变量x的值乘以3后再增加1。弗雷格把他所谓的概念定义为函数。举个简单的例子，假如你想讨论“食肉”的概念。这一概念可以符号性地用函数“F（x）”来表示，并且如果x=“狮子”的话，这个函数的值为“真”；如果x=“鹿”的话，这个函数的值为“假”。同样的道理，考虑数字时，概念（函数）“小于7”，表明每一个等于或大于7的数字为“假”，与此同时，所有小于7的数字则为“真”。弗雷格认为，若对象在概念中的值为“真”，那么这个对象“属于”这种概念。

正如我在上面指出的，弗雷格坚定地相信每一个与自然数有关的命题都是可知的，并且完全是由逻辑定义和法则推导得出的。基于这种认识，他试图不求助于在他之前的任何关于“数字”的理解，对自然数进行全面的阐述和分析。例如，在弗雷格的逻辑语言体系中，如果“属于一种概念的对象”与“属于另一种概念的对象”两者之间是一一对应的话，那么这两个概念就是“数量相等的”（equinumerous），也就是说与这两个概念相关联的数字彼此相等。比如，垃圾桶盖子与垃圾桶本身的数量是相等的（如果每个垃圾桶都有一个盖子），并且这种定义不需要涉及任何数字。接着，弗雷格又针对数字0引入了一种构思巧妙的逻辑定义。想象一下，有一个概念 F 被定义为“不存在与它自己完全一样的（概念）”。因为每一个对象都必然与它自己完全相同，所以说没有一个对象属于F，那么对于任何对象x，F（x）=假。弗雷格定义了数字0是“概念F的数字”。之后，弗雷格继续以他称为“外延”的角度定义了所有的自然数字^［210］。概念的外延是属于这一概念的所有对象的类。虽然这种定义也许很难被专业逻辑学家之外的人理解，但它实际上却非常简单。例如，概念“女人”的外延，是所有女人的类。注意，“女人”的外延绝不是指某一位特定的女士。

你也许会对弗雷格提出的这种抽象的逻辑定义方式心存疑虑，比如，他的这种思想如何帮助我们定义数字“4”？根据弗雷格的方法，数字4是所有含有4个对象的概念的外延（也叫类）。因此，概念“名叫史努比的狗的一条腿”属于这个类（当然也属于数字4），概念“戈特洛布·弗雷格的（外）祖父（母）”也是如此。

弗雷格程序同样非同寻常，令人印象深刻，但是它也存在一些严重缺陷。概念是人类思考不可或缺的，犹如面包和黄油之于人类，在应用概念构建数学方面，弗雷格绝对可以称得上天才。但是，遗憾的是弗雷格没有发现在他的形式论方法中有一些关键的自相矛盾之处，特别是他提出的一条公理（通常被称为第五基本定律）存在致命缺陷。

这条定律的陈述本身并没有错误，它讲的是如果F和G有相同的对象，并且F和G仅有这些对象，那么，概念F的外延与概念G的外延完全相同。1902年6月16日，一枚炸弹从天而降。伯特兰·罗素（图7-3）给弗雷格写了一封信，向他指出了一个确定无疑的悖论，它表明第五基本定律是矛盾的。就好像是命运的安排，罗素的信送到弗雷格手中时，正好是他的《数学的基本法则》第二卷出版的前夕，当看到罗素指出的问题后，弗雷格感到极为震惊，他匆匆忙忙地在手稿中增加了一段内容，在这段文字里他坦诚地承认：“一位科学家所能遇到的最令人不快的事，莫过于在他自以为行将大功告成时，却突然发现他的研究基础整个地坍塌了，而我正是这样的例子。我的书几乎就要出版了，但伯特兰·罗素的一封信将我置于了这种痛苦的境地。”在给罗素的回信中，弗雷格表现出一种大师特有的谦逊，他写道：“你发现的悖论让我极其惊讶，几乎可以说让我惊慌失措，因为它动摇了我想要建立的数学基础。”

图7-3

在构建数学基本原理的整个过程中，仅仅一个自相矛盾的例子就给全部理论体系带来了破坏性影响，这个事实乍一听似乎有点不可思议，但正如哈佛大学逻辑学家奎因指出的：“在历史上这种现象不止一次地出现过：自相矛盾的发现实际上是为思想体系基础的重要重建提供了一个机会。”罗素提出的悖论恰恰提供了这个机会。