纽约市地图上的数学问题

让我们看看图 4-4 所示的纽约市曼哈顿区的地图，这只是完整的曼哈顿区地图的一部分。如果你站在34大街和第八大道的拐角处，而你想要找的人站在59大街和第五大道的交汇处，你肯定会找到他，对吗？这就是笛卡儿为一门新的几何学科所提出的一种全新的方法的精髓。笛卡儿在《谈方法》的一篇附录的第 106页中大体勾勒了这一思想，这篇附录又被称为《几何》^［125］。你也许很难相信，但正是这个表面上看起来十分简单，实际上却非同凡响的概念从根本上改变了数学。笛卡儿用这个微不足道的事实表明，正如下面这幅曼哈顿地图所展示的那样，用一对平面上的数字可以清晰无误地确定一个点的位置（如图 4-5a 所示）。之后，笛卡儿利用这一事实发展出了一门非常有用的理论——解析几何。为了纪念笛卡儿，这种利用两条相交直线提供的参考系被命名为笛卡儿坐标系。传统上，我们把水平线标记为“x轴”，把垂直线标记为“y轴”，这两条线相交的点被称为“原点”。例如在图 4-5a中所标记的 A点，其横坐标值为3，纵坐标值为5，这样A点就可以用一组有序的数字（3，5）表示了（注意，原点的坐标值被规定为（0，0））。试想一下，如果我们想描绘出平面上距离原点5个单位的所有点，肯定会画出一个以原点为圆心、半径为 5个单位的圆（如图 4-5b所示）。如果在这个圆周上取一个点，其坐标值为（3，4），我们会发现这一坐标值恰好满足3²＋4²＝5²。事实上，我们可以很容易地证明得出（利用毕达哥拉斯定理），这个圆上的所有点的坐标（x，y）都满足 x²＋y²＝5²。更进一步地说，在这个平面上，只有这个圆周上的点，其坐标值能使等式x²＋y²＝5²成立。这就意味着代数等式x²＋y²＝5²可以精确地、并且也是唯一地表示这个圆。换句话说，笛卡儿发现了一种能用代数等式或数字方式表现几何中曲线的方法，而且反之亦然^［126］。如果只针对这样一个简单的圆来说，这种方法乍听起来似乎也没有什么值得激动的。但是事实上，今天我们所有能见得到的曲线图，包括股票市场每周的波动图、过去几个世纪以来北极的气温变化图，或者宇宙的比例图，全部都是来自于笛卡儿这个天才的思想。从此以后，突然之间代数和几何不再是两门独立的数学分支了，并且它们还表达了相同的真理。描述这条曲线的数学等式内在地（隐性）包含了该曲线所有我们能想象得到的特性，例如欧几里得所有的几何定理。这还不是全部，笛卡儿进一步指出，不同的曲线可以用相同的坐标系来描述，并且通过找出代表这些曲线的代数表达式构成的方程组的一般解，就可以非常简单地得出这些曲线的交点。利用这种方法，笛卡儿充分利用代数学自身的优势纠正了传统几何学中那些令他极为厌烦的缺点。例如，欧几里得将几何中的点定义为不可再分的、没有大小的独立存在体，而笛卡儿使用一对简洁有序的数来定义平面上的点，在此之后，欧几里得那种极为模糊的定义方法就永远地过时了。不过，这种全新的、蕴含深刻见解的定义方式只是笛卡儿解析几何思想的冰山一角。笛卡儿进一步提出，如果坐标点（x，y）中的x和y这两个数有某种关系，也就是说x的每一个值都对应着一个唯一的y值，那么此时，x和y就构成了一种函数关系。函数的确是无处不在的，你在减肥时每天测到的体重值、你的孩子的每个生日那天测量到的他（她）的身高，或者你的汽车在行驶途中车速度与油表里程的关系，所有这些数据都能用函数来表示。

图4-4

图4-5

函数是现代科学家、统计学家、经济学家真正的“面包和黄油”，须臾不可或缺。如果多项重复的科学实验或观察最终得出了相同的函数关系，它们就可能被提升到自然规律的地位，这里所谓的规律是指所有的自然现象都要遵循的、用数学描述的行为方式。例如，牛顿发现了万有引力定律（在本章稍后部分我们会详细地讨论），万有引力定律指出如果两个点式群体之间的距离扩大两倍，这两个物体间的引力效应通常会降低为原来的四分之一。笛卡儿的思想为几乎所有事物的系统化数学处理推开了一扇门，上帝就是一位数学家这一观念的核心意思也不过就是如此。从理论数学的角度看，几何和代数这两门数学分支过去被认为是毫无关联的，但是笛卡儿证明了如果从更高角度分析的话，两者之间是完全等价的。通过建立它们之间的等价关系，笛卡儿拓展了数学的研究范围，并且为进入解析的领域铺平了道路，而解析则让数学家非常轻易地在数学各分支学科之间进行交叉研究。这种方法带来的好处就是，不仅各种不同的自然现象都可以用数学描述，甚至数学本身也变得更广阔、更丰富，也更统一了。正如伟大的数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1814）指出的：“在几何和代数沿着它们各自的道路独立前进时，它们的进展缓慢，并且应用范围也有很多限制。但是，当这两门科学结合起来以后，它们相互从对方那里汲取新鲜的活力，相辅相成，并且以快速的步伐迈向了完美。”

虽然笛卡儿在数学上取得了辉煌的成就，他本人的兴趣却不仅仅局限于数学。笛卡儿曾经指出，如果把科学比做一株参天大树的话，那么形而上哲学就是这株大树的根，物理学是它的主干，而它 3个最主要的分枝则分别代表着力学、医学和道德。笛卡儿对这几个分支的选择乍一看上去似乎有点奇怪，但是事实上它们分别象征着笛卡儿想要实践的新思想的3个主要领域：宇宙、人体和人生的指导。在荷兰生活的前4年里（1629—1633），笛卡儿把他所有的时间和精力都用在撰写关于宇宙学和物理学的专著《世界》（The World）^［127］上。但是就在这本书出版的前夕，笛卡儿的工作被一些意外的消息打断了，他对这些消息感到十分惊讶，他写信给他的朋友，也就是著名的自然哲学家、评论家马里恩·梅森（Marin Mersenne，1588—1648），他哀叹道：

我本打算送给您一本《世界》作为新年礼物，甚至在两个星期之前，我还想如果届时全书没有按时完成的话，至少要送给您其中的一部分。但是我不得不说在这个关键时刻，我费尽心力去查问了在莱顿和阿姆斯特丹是否出版了伽利略的著作《世界体系》（World System），因为我曾经听说这本书去年已经在意大利出版了。从他人那里我得知这本书的确是出了，但之后不久所有的印刷成品在罗马被全部焚毁了，并且伽利略也被宣判有罪还被处以罚金。对于这个消息我感到极为震惊，以致于我差点决定把我的所有论文全部付之一炬，或者至少不能让任何人看到它们。就我所知，那位意大利人曾经还博得教皇的欢心，我想象不出，除了他试图建立地球在运动这一理论之外（对此他毫不怀疑），还会有其他任何的原因让他获罪。我知道，一些红衣主教严厉地指责这种观点，但是我曾听说所有这些类似的知识在罗马是被公开教授的。我必须承认，如果他的这种观点是错误的话，那么我的整个哲学的基础也是错误的，因为他的观点可以用我的哲学思想很清晰地证明，它在我的书中每一部分都有所反映，与我书中的内容交织在了一起，如果我强行从中把它们剔除的话，我的文章就会产生严重缺陷而不再完整了。但是无论如何我不想出版一本“其中哪怕有一个字会让教会反对”的著述，因此我宁愿不出版这本书，也不愿意让它以一种残缺不全的形式面世。

笛卡儿的确放弃了出版《世界》（一份不完整的手稿最终在 1664年编印成书发行），但在他 1644年出版的《哲学规律》（Principle of Philosophy）中吸收采纳了其中的大部分结论。在这本进行了系统论述的著作中，他表达了他所理解的自然规律，还提出了旋涡理论。其中有两条规律和牛顿的运动第一定律和第二定律^［128］极为相似，但可惜的是其他的部分却是错误的。旋涡理论假设太阳位于一个旋涡的中心，这个旋涡是由连续不断的宇宙物质形成的。笛卡儿认为行星随着这个涡流运动，就像一片树叶在河流形成的旋涡里围绕着涡流中心旋转一样。接下来，他认为行星也会形成自己次一等的旋涡，行星的卫星在这个旋涡里运动。虽然笛卡儿的旋涡理论明显是错误的（牛顿在后来不留一丝情面地指出了其中的谬误），但它还是十分有趣的，这是人类第一次郑重其事地把宇宙作为整体来研究的理论，这一理论依据的是在地球表面上也适用的规律。换句话说，在笛卡儿眼中，天空和地面的现象并无差别，地球是宇宙的组成部分，因而它们遵循统一的物理规律。不幸的是，笛卡儿在构建详细的理论内容时却忽视了他本人提出的原则，这个旋涡理论既不是基于自相一致的数学分析，也不是通过严谨的科学观测后得出的。尽管如此，笛卡儿提出的这一理论描述了太阳和行星在某种程度上破坏了围绕在它们周围的宇宙物质的平滑性，很久之后其中某些基本观念却成为了爱因斯坦引力理论的基础。在爱因斯坦的广义相对论中，引力并不是作用于遥远空间的神秘的力量。在某种程度上，质量巨大的物体，例如太阳，会让它们附近的空间弯曲，就好像一个滚动的球会引起蹦床下陷一样。继而行星就会在这个弯曲的空间内沿着可能的最短路线运动。

在这段极为简练的叙述中，我刻意回避了笛卡儿几乎所有在哲学方面对后世有巨大影响力的思想，否则的话就会偏离这本书的中心主题太远了（但在本章稍后部分，我会继续讨论他对上帝的看法）。我忍不住要引用英国数学家沃尔特·威廉·罗斯·贝尔（Walter William Rose Ball，1850—1925）在1908年所写的那段有趣评论：

对于他（笛卡儿）的哲学理论，应该说，他讨论的问题已经被争论了两千年，而且可能还会被继续争论两千年。不必说，那些问题本身的确极其重要，也十分有趣，但是过去所有对这些问题的解答要么缺乏严格的理论证明，要么总是能找出反证。这样带来的后果就是每产生一种解释却会引出更多的问题，并且，每当有像笛卡儿这样的哲学家相信自己最终解决了这些问题，他的后来者在不久之后就会指出其中的谬误之处。我曾经读到过，哲学主要在上帝、自然和人三者之间的内在关系上争论不休。最早期的哲学家是古希腊人，他们主要研究上帝和自然之间的关系，也对人单独进行研究。基督教则全身心地投入上帝和人的关系讨论之中，完全忽略了自然。最后，现代哲学家们主要关心人和自然之间的关系。这种观点是时下流行的看法，它正确与否我在这里不想讨论，但是这种为现代哲学界定了研究领域的表述指出了笛卡儿著作的局限性。

笛卡儿用下面这段文字作为他关于几何的那本著作的结尾：“我希望后世子孙能友善地评价我，不仅是因为我所解释的那些事，而且还因为那些我有意遗漏了的内容，这样其他人也会同样享有发现的乐趣。”（如图 4-6 所示）。笛卡儿肯定不会知道，有一个人会把他的数学思想作为科学向前迈出一大步的核心，而这个人在他去世那年才 8岁。这位非常卓越的天才可能比人类历史上其他所有的人都有更多的机会去享受“发现的乐趣”。

图4-6