资产组合的收益率和标准差

6.6.1　资产组合的收益率和标准差

资产组合能分散风险，这是被实践证明的事实。那么，组合投资为什么能够降低风险呢？这是因为，组合投资的风险不仅与构成组合的各种资产的风险有关，而且与这些资产收益率之间的相关程度有关；而反映资产收益率之间相关程度的统计指标是协方差和相关系数。为方便起见，我们以两项资产组成的投资组合为例加以说明。至于多项资产组合的情况，其基本原理与两项资产组合的情形是相同的。

（1）协方差和相关系数

协方差和相关系数是统计中度量两个随机变量之间相关关系的统计量，我们运用这两个统计量来反映构成组合的资产的收益率之间的依存关系，这是计量资产组合方差和标准差的基础，也与β系数有着密切关系。

假如有两种资产A和B，它们的收益率变动存在某种依存关系，统计中可以用协方差和相关系数来反映这种相关关系。它们的计算公式分别如下：

式中：Cov（R_AR_B）为组合的协方差；ρ_AB为组合的相关系数，其他字母的含义与前同。

由（6-29）和（6-30）可以得到

C_ov（R_AR_B）＝ρ_AB·（σ_A·σ_B）　　　　　　　　　（6-31）

式（6-31）表明：两种资产组合的协方差等于这两种资产的相关系数与它们的标准差的乘积。协方差和相关系数都能反映变量之间的相关关系，它们的数值越大，表明这两种资产收益率变动的相互关系越密切。相比之下，运用相关系数能更直观地反映变量之间的相关性。统计学上可以证明：相关系数ρ_AB的数值永远在－1和＋1之间；并且，相关系数的绝对值越接近1，这两种变量的线性关系越明显。几种特别的情况是：当ρ_AB＝1时，这两种资产的收益率呈完全正相关；当ρ_AB＝－1时，这两种资产的收益率呈完全负相关；当ρ_AB＝0时，这两种资产的收益率没有任何（线性）相关关系。

利用前面例6-1中A、B两项资产的有关资料，可以计算出这两种资产收益率的协方差和相关系数分别为：

C_ov（R_AR_B）＝（30%－15%）（20%－12%）×0.3＋（18%－15%）（10%－12%）×0.5＋（－15%－15%）（5%－12%）×0.2

　　　　　 ＝0.75%

A、B两种资产收益率的相关系数为0.8485，说明该两种资产的收益变化呈现显著的线性相关性。

（2）组合的期望收益率

现在我们来看资产组合的期望收益率与单项资产的期望收益率有何关系。假如有两种资产A和B，某投资者投资于这两种资产的投资比例为W_A和W_B，W_A＋W_B＝100%。那么这种组合的收益率可以表示成：

R_（AB）i＝W_A·R_Ai＋W_B·R_Bii＝1，2，3，…　　　　（6-32）

通过简单的数学推导可以证明：资产组合的期望收益率等于构成组合的各个资产的期望收益率的加权平均数。即

E（R_AB）＝W_A·E（R_A）＋W_B·E（R_B）　　　　　　　　　（6-33）

仍利用前面A、B两项资产的有关资料，假设某投资者将100万元的资金投入这两种资产，他是一位比较保守的投资者，他将40%的资金投入A资产，60%的资金投入B资产。那么这种组合的期望收益率为：

E（R_AB）＝15%×40%＋12%×60%＝13.2%

所以，组合的期望收益率不仅受到组合中各项资产的期望收益率大小的影响，而且受到构成组合的各项资产的投资比例的影响；组合的期望收益率比组合中最高的单项资产的期望收益率要低，而比组合中最低的单项资产的期望收益率要高。这说明，通过资产组合，投资的期望收益率将趋于平均。

（3）资产组合的方差和标准差

我们也可以计算资产组合的方差和标准差，它们是计量资产组合风险的统计量。我们能否仿照资产组合的期望收益率与构成组合资产的期望收益率之间的线性关系，得到方差和标准差的相同结果呢？即能否参照（6-33）得出下面的公式？

Var（A，B）＝W_A·Var（R_A）＋W_B·Var（R_B）　　　　　　（6-34）

σ（A，B）＝W_A·σ（R_A）＋W_B·σ（R_B）　　　　　　　　　　（6-35）

非常遗憾，上述两等式一般不成立！从数学原理解释，因为方差和标准差的数学运算是非线性的（平方和开方），所以我们无法得出组合的方差（标准差）与单项资产的方差（标准差）之间的线性关系。而且，（6-34）和（6-35）本身也有矛盾^[2]。事实上，组合的方差和标准差可以这样推导：

因此，我们得到：

由于协方差和相关系数存在（6-31）的恒等式，将（6-36）写成相关系数表示的形式便是：

将组合的方差开方就是其标准差。仍利用前面A、B两项资产的有关资料和确定的投资比例，可以计算这种组合的方差和标准差分别为：

Var（A，B）＝0.4²×0.0252＋2×0.4×0.6×0.0075＋0.6²×0.0031

　　　　　　＝0.8748%

σ（A，B）＝9.3531%

如果按照式（6-34）和式（6-35）计算，方差为1.194%，标准差为9.69%。结果表明，资产组合的方差（标准差）小于构成组合的各个资产的方差（标准差）的加权平均数，而由式（6-33）知，资产组合的期望收益率等于构成组合的各个资产的期望收益率的加权平均数。由此可见，组合中各项资产的方差和标准差对组合的方差和标准差的影响，与各项资产的期望收益率对组合的期望收益率的影响，结果是完全不同的。

组合的方差（标准差）小于组合中各个资产的方差（标准差）的加权平均数，这是资产组合多元化效应所产生的作用。这种作用使资产组合的风险得以降低。如前面所举的资产A和B的组合就是如此。由于A、B两种资产的收益率呈正相关，所以这种组合的多元化效应并不是很明显；可以想象，如果两种资产的收益率呈负相关（相关系数为负值），这时公式（6-37）右端的中间一项为负数，组合的多元化效应会明显得多。

那么，资产组合的多元化效应是否在任何方式的资产组合中永远存在？就是说，任何资产组合的方差（标准差）是否必定小于构成组合的各个资产的方差（标准差）的加权平均数？

由于－1≤ρ_AB≤1，所以

从而

Var（A，B）≤（W_AσA＋W_BσB）²　　　　　　　　　　（6-38）

前面的推导过程说明，可以通过严格的数学方式论证前面得出的结论：资产组合的方差小于等于构成组合的各个资产的方差的加权平均数，标准差的结论也一样。而且从推导过程可知，当且仅当相关系数ρ＝1时，式（6-38）等号成立。因此，就有这样的结论：只要两种资产收益率不是呈现完全的正相关，资产组合的多元化效应总是存在的；这种效应的高低主要取决于相关系数的数值。当相关系数等于－1时，多元化效应最为明显，组合的风险达到最小，但此时也不一定能使组合完全消除风险^[3]。

尽管我们前面得出的结论是针对两项资产构成的组合，但是我们可以将其推广到多项资产组合的情形。即在由多项资产构成的组合中，只要组合中有两种资产之间的相关系数小于1，组合的方差（标准差）必定小于构成组合的各个资产的方差（标准差）的加权平均数，资产组合的多元化效应总会产生作用。