断裂力学理论和计算方法

7.1.1　断裂力学理论和计算方法

1）应力强度因子K

断裂力学是近三十年来发展起来的研究含裂缝的结构在各种环境（包括载荷作用、温度变化、湿度变化等）下裂缝的平衡、扩展、失稳规律及其强度的一门新学科，可对结构的稳定性进行预测，其主要任务是确定出应力强度因子K（线弹性断裂力学）或J积分及裂纹面张开的最大位移δ（弹塑性断裂力学），进而确定裂纹尖端应力应变场。结构在外界影响因素作用下，在裂缝尖端产生的K、J或δ小于材料本身特性常数（K_c、J_c和δ_c），结构将不会发生失稳扩展。可以说断裂力学的形成与发展对结构的安全设计赋予了新的内涵。

线弹性断裂力学是断裂力学中最简单和发展相对比较成熟的一个分支。它以弹性力学的基本理论为基础，将裂纹作为边界条件来处理，通过裂纹体附近的应力场、位移场来分析带裂纹结构的承载能力和抗断裂韧性与裂纹长度之间的定量关系。线弹性断裂力学主要适用于弹脆性材料或准脆性材料，此时裂尖塑性区相对于K场控制的区域小很多，由应力强度因子可以用来分析材料和结构的疲劳破坏。

结构物中裂缝在一定条件下失稳扩展，按照它们在载荷作用下扩展形式的不同，可以分成三种基本类型（图7.1）。

（1）张开型裂缝（Ⅰ型）

正应力σ和裂缝面垂直，在正应力作用下，裂缝尖端处左右两个平面张开而扩展，且裂缝扩展的方向和σ作用方向垂直。这种裂缝扩展模式称为张开型裂缝，也称为Ⅰ型裂缝。

图7.1　裂纹的三种基本类型

（2）滑开型裂缝（Ⅱ型）

剪应力τ和裂缝表面平行，作用方向与裂缝方向垂直。在剪应力作用下裂缝的上下两个平面相对滑移而扩展。这种裂缝扩展模式称为滑开型裂缝（或剪切型裂缝），或称为Ⅱ型裂缝。

（3）撕开型裂缝（Ⅲ型）

剪应力τ和裂缝表面平行，作用方向与裂缝方向平行。在剪应力作用下裂缝的上下两个平面撕裂扩展。这种裂缝扩展模式称为撕开型裂缝，或称为Ⅲ型裂缝。在实际路面结构中，这种裂缝形式较少出现。

如果在结构或材料内部的裂缝同时受有正应力和剪应力的作用，则可能同时存在Ⅰ型和Ⅱ型或Ⅰ型和Ⅲ型裂缝，这种组合形式的裂缝称为复合型裂缝。

裂纹扩展时要消耗一定的能量，根据能量平衡理论，主要用于补偿以下两个能量的消耗。其一，裂纹扩展后，将有新的表面形成，需消耗一定的能量用于形成新的表面。设新表面单位面积需要的表面能为Γ，裂纹扩展单位面积后，由于形成了上、下两个表面，需要的表面能为2Γ；其二，有些材料在断裂前要发生一定的塑性变形，因而消耗一定的塑性变形功，若裂纹扩展单位面积所消耗的塑性变形功为U_p，则裂纹扩展单位面积时，需要总的能量R为

R＝2Γ＋U_p　　　　　　　　　　　　　　　（7－1）

由于R为裂纹扩展时所需要的能量，所以R也称为裂纹扩展的阻力。

设试验机、试样一起构成一个系统，裂纹扩展单位面积时系统可以提供的能量为G，则裂纹可以扩展的条件应为

G≥R　　　　　　　　　　　　　　　（7－2）

裂纹扩展后，由于系统提供了裂纹扩展所必需的能量，系统的势能将下降，若令u₁、u₂分别为裂纹扩展前后系统的势能，则势能的变化为

－Δu＝u₂－u₁　　　　　　　　　　　　　　　（7－3）

设一裂纹体中裂纹扩展了面积ΔA，则裂纹扩展消耗的能量为

该式表明，G_Ⅰ实际上就是裂纹扩展过程中系统势能的释放率。其释放的能量用于裂纹扩展所需要的能量，所以G_Ⅰ是裂纹扩展的动力，其单位为m·N/m²或N/m。在断裂力学文献中常称G_Ⅰ为裂纹扩展力，意为裂纹扩展单位长度系统提供的力，但应注意的是G_Ⅰ并不是“力”，而是单位面积的能量，即能量率。

由上式，Ⅰ型裂纹扩展的临界条件为

G_Ⅰ＝2Γ＋U_p　　　　　　　　　　　　　　　（7－5）

其中，G_Ⅰ的下标Ⅰ表示Ⅰ型裂纹。在临界条件下，若将2Γ＋U_p用G_ⅠC来表示，则断裂判据可以统一地写成：

G_Ⅰ＝G_ⅠC　　　　　　　　　　　　　　　（7－6）

该判据表明，在裂纹扩展过程中，如果裂纹扩展单位面积系统可以提供的能量G_Ⅰ小于裂纹扩展单位面积所需要的能量G_ⅠC，则裂纹不能扩展，仅当G_Ⅰ等于或大于G_ⅠC时，裂纹才可能失稳扩展。

由于Γ和U_p都是材料固有的力学性能，所以GⅠC也是材料固有的力学性能指标，可以通过一定的方法来测量。同时由于G_ⅠC是表征材料抵抗断裂的一种性能，所以也称其为断裂韧性。

若一无限大板，内含中心贯穿裂纹（图7.2），板厚为B，裂纹长为2a，则裂纹扩展面积为A＝2Ba，无穷远处作用有垂直于裂纹的均匀拉应力σ，代入式（7－4），有：

图7.2　中心贯穿裂纹的无限大板

由弹性理论知识可知：

从而，

若不考虑塑性变形，则有：

故当板受力σ作用时，最大可允许半裂纹长度为

而当板有2a长度的中心裂缝时其能承受的最大拉应力则为

图7.3　裂缝尖端示意图

图7.3所示一平面裂纹，坐标原点O选在裂尖，r、θ为极坐标，x、y为直角坐标，则极坐标和笛卡儿坐标下的裂尖渐近应力场和位移场分别为

式中　G——剪切模量，（平面应力），χ＝3－4μ（平面应变）。

对于撕开型即Ⅲ型裂缝来说，裂缝尖端附近的应力分量和位移分量为

以上各式中　K_Ⅰ——Ⅰ型应力强度因子；

　　　　　　K_Ⅱ——Ⅱ型应力强度因子；

　　　　　　K_Ⅲ——Ⅲ型应力强度因子。

Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型应力强度因子控制的裂缝尖端的应力场和位移场可统一记为

对于不同类型的应力强度因子，f_ij（θ）和g_i（θ）具有不同的表达式。从上面的公式可以看出，只要有裂缝存在，并且外载荷不等于零（即使很小很小），则裂缝尖端处的应力总是趋向无限大的。因为应力与成反比，在裂纹尖端处（r＝0），应力为无限大，即应力在裂纹尖端出现奇异点，应力场具有奇异性。

只要存在裂纹，不论外载荷多么小，裂纹尖端应力总是无限大，如果按照传统的强度理论，无论作用多么微小的载荷，都将导致结构的破坏。也就是说，有裂缝结构的强度是趋向于零的。但是实际情况并不是如此，许多带裂缝工作的结构在一定的载荷作用下还是稳定的。在这种情况下，只用应力大小来判断结构的强度的方法就不适用了。由式（7－24）可知，裂缝尖端附近的应力场与K_Ⅰ成正比。对于同一裂缝，同一种应力状态就具有相同的K_Ⅰ值。K_Ⅰ值越大，则裂缝附近的应力随r→0时趋向无限大就越迅速。所以，K_Ⅰ可以反映裂缝尖端附近的应力场强度，它被称为应力强度因子。在断裂力学中，应力强度因子作为裂纹尖端附近应力奇异性程度的表征参量，是衡量裂纹尖端区的应力场强度的重要指标。应力强度因子可由相应的应力场和位移场定义：

或

当外载荷为对称载荷，裂尖应力场由Ⅰ型应力强度因子控制时，令θ＝180°，由式（7－20）可得用裂缝面位移表示的应力强度因子（平面应变）：

在一般情况下，应力强度因子的大小与载荷性质、裂缝几何形态和结构几何形态等因素有关。现在只有几种简单情况下可以推导出应力强度因子的解析表达式。当载荷情况复杂、构件尺寸不规则时，很难用解析法来确定应力强度因子，此时可以用试验的方法或数值方法来计算。从式（7－26）～式（7－31）可以看出，应力强度因子并不是一个独立参量，可由裂尖的位移场或应力场确定。

另外需要指出的是，应力强度因子与应力集中系数是两个完全不同的参数。应力强度因子与应力点坐标无关，它从总体上反映了裂缝尖端附近应力场奇异性的强弱，其量纲为］；而应力集中系数是应力集中处最大应力与名义应力之比，它反映了应力集中的程度，是一个无量纲的参数。

通过上面的分析可以看出，应力强度因子反映了裂缝尖端附近应力场的强弱。以Ⅰ型裂缝为例，由式（7－26）可知，随着外加应力的增大，应力强度因子也将增大。同时，在试验中发现，当应力场的强度增加到某一值时，即使外加应力不再增加，裂缝也会迅速扩展而导致结构断裂或结构发生脆性破坏。这个极限值称为材料的断裂韧度，用K_ⅠC来表示。不同的材料具有不同的K_ⅠC值，其值表征了工程材料本身固有的抵抗裂缝扩展的能力，与其他力学指标（如抗压强度、屈服极限等）一样需要通过试验来确定。通过试验已经发现，断裂韧度与试件的厚度、加荷速度、环境条件等因素有关。

求出了带裂缝工作结构的应力强度因子K_Ⅰ，测定了材料的断裂韧度K_ⅠC后，便可以建立结构不发生断裂的条件：

K_Ⅰ≤K_ⅠC　　　　　　　　　　　　　（7－33）

对于带裂缝的无限大平板有：

对于Ⅱ型和Ⅲ型裂缝也有类似的判别准则。

应力强度因子K_Ⅰ和材料的临界应力强度因子K_ⅠC是两个不同的概念。前者是由外载荷及裂纹体的形状和尺寸决定的量，是表示裂纹尖端应力场强度的一个参量，可以根据弹性力学的基本方程求得。后者是材料具有的一种性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力。对于某一给定的材料，在一定的条件下，K_ⅠC是一个常量。这两者类似于路面设计中，外载荷引起的拉应力和反映材料性质的极限抗拉强度之间的关系。

2）J积分

Rice和Cherepanov分别讨论裂纹问题时，为了避开直接计算裂纹尖端附近的弹塑性应力应变场，提出了一个围绕裂纹尖端的围线积分（J积分）。经证明，这个积分值与积分路径无关（其值为一常数，即J积分的守恒性），并认为这一常数的数值就反映了裂纹尖端应力－应变场的强度。

如图7.4所示，围绕裂纹尖端作一回路，并沿此回路作下式积分：

图7.4　裂纹尖端积分回路

式中　Г——自裂纹下表面的任意一点起，沿逆时针方向绕过裂纹尖端而止于裂纹上表面任意一点的任意一条曲线；

　　　ω——在弹塑性条件下，在单调加载过程中裂纹体的应变能密度；

　　　T_i——作用在回路上弧线ds对应的面元素ds、dz上的表面力矢量，其分量为：T₁＝Tx₁，T₂＝Tx₂；

　　　u_i——该处的位移矢量，其分量为：u₁＝u，u₂＝v；

　　　n——线元素ds的外法线单位矢量，其分量即为方向余弦：n₁＝cos（n，x₁），n₂＝cos（n，x₂）。

经推导证明，在线弹性状态下，J积分就是应变能释放率G，即裂纹扩展单位面积所释放出的能量。

平面应变条件：　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7－36）

平面应力条件：　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7－37）

对于J积分，也可以建立起类似的断裂判据：

J＝J_ⅠC　　　　　　　　　　　　　　　（7－38）

式中J_ⅠC是材料抵抗裂缝扩展的断裂韧性，叫临界J积分，通过测试可以获得。可以看出，J积分判据与其他判据（如K判据、G判据）存在着内在联系和一致性。

3）裂缝尖端的奇异单元

经过几十年的发展，学者们找到了很多求解应力强度因子的方法。常用的应力强度因子求解方法有：查阅手册法、格林公式法、有限元法和权函数方法。随着现代计算机技术和数值计算方法的发展，有限元方法已经成为重要的解决偏微分方程组的重要手段。由于不受任何边界条件和载荷条件的影响，如今有限元方法在断裂力学领域内被广泛应用。

最早用有限元方法来分析裂缝问题是Swedlow、Williams和Yang、Chen、Tuba和Wilson。但是他们采用常规单元来划分裂缝尖端附近区域，计算精度并不是很高。Wilson、Oglesby和Lamackey表明，用常规单元模拟裂缝存在缺陷，不论尖端附近的网格划分有多细，计算精度都不会很高。随着研究的进一步深入，一些模拟裂缝尖端附近特殊应力、应变场的特殊单元相继出现，如Tracey、Bladkburn等将形函数做了相应的调整，可以模拟应力、应变的奇异性。现在，最为简洁、通用的办法是直接采用四分之一结点单元（奇异单元），这个方法分别由Henshell、Shaw和Barsoum提出。奇异单元实际上是一种畸形等参单元（图7.5），在裂缝尖端处将中间结点向裂缝尖端靠拢，距裂缝尖端四分之一边长处（通常中间结点在边长二分之一处），这样的单元即可以较好地反映裂缝尖端附近的应力场。这样处理后，可以很好地模拟裂缝尖端的奇异性问题，并且单元也不用划分得那么细，这大大减轻了划分网格的工作强度和节约了计算时间。

图7.5　常规单元与奇异单元

对于平面八结点常规单元（图7.6a），结点1为裂缝尖端点，结点顺序编号1～8。将结点1、7重合于结点8，并将结点2、6移至距结点1四分之一边长处，可得平面八结点奇异单元（图7.6b）。可以证明应力、应变分量在从结点1扩散的所有方向上（在结点所属单元范围内）均具有次奇异性。因而采用平面八结点奇异单元可以求解裂缝尖端附近的应力、应变和位移场，并具有较高的计算精度。

图7.6　平面八结点奇异单元