理想流体绕圆柱流动

重力场中物体从静止开始在理想流体中运动,或者无穷远处均匀来流绕物体运动,由于符合理想、正压、体积力有势等条件,因而这种运动是无旋的。利用拉普拉斯方程的线性性质,将已经确立的若干无旋流的势函数叠加,当方程和边界条件都得到满足时,即可得到所讨论的流场的解答。

物体在流体中作均匀直线运动,用静止坐标系考察流场,其周围速度分布是非定常的,若采用随物体一起移动的坐标系进行考察,则问题转化为流体绕静止物体的运动,运动为定常。这在数学上相当于叠加一个均匀流。因此,在前述基础上,可用均匀流函数叠加偶极流求解流体绕长圆柱的流动。

设理想流体的均匀来流速度为U 0,压力为p 0,绕过半径为r 0的圆柱,见图6-5。由于柱体很长,忽略端效应,可视为二维流动。解柱坐标拉普拉斯方程可得解,但此处用基本解叠加求取流函数、势函数,从而得到速度分布,再由伯努利方程求得压力分布。解题更为简便,并避免采用特殊函数等复杂数学方法。

绕经圆柱体的流函数,可根据式(5-21)及式(5-24)求得

图6-5　绕圆柱体的流动

为了满足边界条件,应适当地选定式中的M值。流函数等于常数,即得流线

常数C=0时,得ψ=0的零流线方程

因此就有

由于运动流体中的物体表面是不能被流体穿透的,所以ψ=0的零流线可以看作是绕圆柱体的势流的边界流线。因此,满足边界条件的偶极矩应选取为

由方程式(6-26)得到零流线为y=0或x 2+y 2=r 20,这说明ψ=0的零流线是圆心位于坐标原点、半径为r 0的一个圆,以及与此圆相连的Ox轴的两个分支,点A和点C是两个分支点。流体绕过圆柱体时,先在A点分开,然后在C点汇合。这样,所求得的流函数就是

式(6-27)中r≥r 0,小于r 0的值无意义。

(1)势函数　绕经圆柱体的势函数,亦可由均匀流叠加偶极流得到

由于拉普拉斯方程的线性性质,因此以上由叠加所求得的φ和ψ必然满足该方程。

(2)速度分布　由已知的速度势,不难求出速度分布。在极坐标中有

在圆柱体表面上,即当r=r 0时,得ur=0,边界条件得到满足。此外,还有

uθ=-2U 0 sinθ　　　　　(6-31)

这就是说,圆柱体表面上的速度沿着圆周切线的方向且大小等于2U 0 sinθ,负号表示流体沿着与θ角相反的方向流动(见图65)。当θ=180°(点A)和θ=0(点C)时,速度等于零,这两点分别称为前、后临界点或驻点。当θ=90°时,速度具有最大值,并且等于无限远处流动速度的两倍。

由式(6-29)及式(6-30)可知,径向速度随离开圆柱体距离的增大而逐渐增加,当r=∞时,达到U 0 cosθ值。与此相反,切向分速度随r的增加而减少,当r=∞时,达到-U 0 sinθ值。这两个表达式给出了无限远处来流速度的投影。

(3)压力分布　由伯努利方程,如果不考虑重力影响,Z=常数,则在上述流场中有

或

将速度分布式(6-29)、式(6-30)代入,得

在圆柱面上,r=r 0得

当θ=0和θ=180°时

当π时

图6-6(a)为沿圆柱体周线的速度分布。图66(a)为压力分布的计算值与实验值的比较。由图可知,自中间截面到C点范围内,计算值和实验值有很大的差别,这是由于没有考虑黏性力的影响所致。实际流体流过圆柱体时,当在表面附近时,黏性影响很大;当θ= 100°~70°时(此处θ由后驻点算起,若由前驻点算,则θ在80°~110°的范围内),流动不再贴着壁面,而与柱体分离,在柱体后缘形成涡旋区,以致压力的实验值远比计算值低。这表明,驻点压力大于无限远处来流的压力,且圆柱体中间截面上的压力是最低的。

图6-6　绕圆柱体流动的速度与压力分布

已知柱体表面上的压力分布之后,可以计算出流体对柱体的作用力。计算表明,理想流体的势流绕经圆柱体时,对柱体的总压力的水平和垂直分量都等于零。这是速度分布特点所决定的。从前驻点开始,质点动能增加,至时达最大值,这一动能足以与压力增加相抗衡,使流体质点到达后驻点,因而后半球上的力与前半球上的力相抵消。对黏性流体,由于边界层中流体动能损失,不能推动流体到达后驻点,不存在对称性压力。

当圆柱体在理想流体中运动时,柱体只受来自流体的对称性压力,因此阻力等于零,这显然与实际情况是相违背的,这就是著名的达朗伯定理。这一矛盾显示了理想流体模型的局限性。