方程的求解

解N-S方程可以得到流动问题的精确解,但是因为NS方程是二阶非线性非齐次偏微分方程。对于大多数工程中的复杂的不可压缩黏性流体的流动问题,特别是湍流脉动, N-S方程无法精确求解,只能通过计算机数值计算或实验研究得到。

黏性流体运动方程组中有四个未知数(三个速度分量u x,u y,u z及压力p),它们是独立变量x,y,z,t以及一些参数如μ,ρ,g等的函数。假设μ,ρ是常数,质量力仅有重力,则四个未知数有四个方程式,问题是可解的。但由于这组方程中包含未知数的乘积,如 S方程的近似也可以依照雷诺数的大小,分成低雷诺数(Re≪1)近似和高雷诺数(Re≫1)近似。

(3)数值解

随着高性能电子计算机的飞速发展,数值计算有了强有力的工具。黏性流体运动方程的数值解法也日益发展,形成了流体力学中的一个重要分支——计算流体力学。目前应用最广泛的数值解法是有限差分法、有限元法和有限体积法,具体内容参见第九章。

例5-3　泊谡/库特(Poiseuille/Couette)流——平行平板间的流动,因而方程是非线性的。求它的一般解,在数学上有极大的困难,因此,只能在若干特定情况下求解。求解运动方程有三种方法:精确解、近似解和数值解。

(1)精确解

这组方程建立一百五十多年以来,已经得到约八十个精确解。从求解情况看,绝大多数是忽略位变加速度的非线性项而求得的线性解。涉及的流动类型及流场几何形状,有库特流(定常及非定常)、管流、驻点流、旋转流以及具有移动边界的流动、边界上的吸入流等。

(2)近似解

为扩大基本方程组的可解范围,解决更多的工程实际问题,发展了许多近似解法。例如,摄动法、准定常近似等。对N

不可压缩的牛顿流体,在压力梯度作用下,于相距为h的两平行平板之间作定常流动(泊谡流),当上面的一块板以均匀速度U 0沿x方向运动时,称为库特流,如图5-13附图(a)所示。假定流动是缓慢的,黏性引起的发热可以忽略。试求远离进、出口处流体的速度分布与流量。

图5-13　附图(a)

解　假定u x=u x(y),u y=0,u z=0,p=p(x,y)以及温度T=常数,不计质量力。

按照这些假定,可忽略非线性项,简化基本方程,得到库特流的微分方程。由连续性方程,可得

由运动方程(5-37),可得

由于u x=u x(y),

至多只能是y的函数,因此根据微分理论,上式两边必为同一常数。

边界条件是y=0,u x=0;

y=h,u x=U 0

将方程0积分,并由边界条件决定积分常数,得到速度分布

对于单位板宽,板间的体积流量可知,所得速度分布是两种运动叠加的结果,上板运动给出线性分布,梯度给出抛物线分布,随着U 0和压力梯度的不同,将出现不同特征的速度分布,如图5-13附图(b)所示。

考察式

图5-13　附图(b)

例54　一块与水平面成θ角的斜平板,在垂直图面的z方向为无限长。动力黏度为μ的液体,在重力作用下沿平板作定常层流运动。假定液体层厚度为h,上表面是大气压p a,如图5-14所示。试求流层内的压强和速度分布表达式,以及z方向取单位长度的流量表达式。

解　如图所示建坐标系。液体沿x方向单向流动。用N-S方程和微元体受力分析两种方法求解此题。

图514　例5-4示意图

(1)用N-S方程求解对定常流动方向为无限长,则为二维流动;液体沿x方向单向流动,y和z方向的速度v=w=0,有关v、w的各阶导数也为零;质量力各分量分别为f z=0,f x= g sinθ,f y=-g cosθ。N-S方程成为

由式(b)得

积分得p=-ρg y cosθ+C 1

可见在流动的横截面上压强按线性分布,当y=h时,p=p a为大气压强,而此压强分布沿x不变,故

将y=h,p=p a的边界条件代入得C 1=p a+ρg h cosθ,故压强分布为

p=p a+ρg(h-y)cosθ　　　　　　　(d)

因为

所以连续性方程有,加上条件,以及,代入式(a)得

积分得

对y再次积分得

所以速度分布为

单位宽度流量为

(2)用微元体受力分析方法求解

在流层内取一长为d x,深为d y的微元流体,则由y向力的平衡得

即

积分得

p+ρg y cosθ=C 1

按边界条件y=h,p=p a代入得

C 1=p a+ρg h cosθ

故

p=p a+ρg(h-y)cosθ

由x向力的平衡得

即

因为

所以,式(h)为

式(i)与式(e)形式完全一样,积分并代入边界条件,则能得到与式(f)一致的速度分布式和式(g)一致的流量表达式。

习　　题

5-1　已知平面流场内的速度分布为u x=x 2+xy,uy=2x y 2+5y c,求在点(1,-1)处流体微团的线变形速度、角变形速度和旋转角速度。

5-2　已知有旋流动的速度场为u x=2y+32,u y=2z+3x,uz=2x+3y,试求旋转角速度、角变形速度和涡线方程。

5-3　试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件。

(1)u x=kx,u y=-ky,uz=0;

(2)u x=y+z,u y=z+x,u z=x+y。

5-4　已知平面流场的速度分布为0时,在(1,1)上流体质点的加速度。

5-5　如图5-15所示为流体在倾斜平板上的降膜流动。液膜厚度为δ,表面与大气接触。液膜沿x轴方向作一维层流流动,速度u=u(y),在y、z方向的速度均为零。主流方向(x轴正向)与重力加速度g方向之间的夹角为β。设流动可视为充分发展的层流流动。试针对图中的微元体列出y方向动量方程并求解。

图5-15　题5-5图

图5-16　题56图

5-6　设两平板之间的距离为2h,平板长宽皆为无限大,如图5-16所示。在已知压力梯度作用下,流体沿z方向流动。试用黏性流体运动微分方程,求此不可压缩流体恒定流的流速分布。

5-7　不可压缩牛顿黏性流体的运动黏度为v,在重力作用下沿倾斜角为θ的斜坡作二维定常层流流动,如图517所示。设液面上为大气压强,流层深度为h。试求在图示坐标系中:

(1)流层中的速度分布u(y);(2)压强分布p(y);(3)切应力分布τ(y);(4)流量Q。

图5-17　题5-7图