古代中国人求解方程术

古代中国人求解方程术

此处所讲的方程，是现代意义下的方程，它包括线性方程组的解法和高次方程的数值解。

(1)线性方程组

古代中国人将解线性方程组的方法称为方程术。这时候的方程中还没有出现未知数，但是我们很容易把它与现今的含有未知数的方程的解法相对应起来，也便于理解。它的核心是通过直除法消元，逐步减少未知数的个数及方程的行数，最终消成一个一行一个未知数，然后再求第二、第三个未知数。

例1.《九章·方程卷》第一题。

“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗。上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?

答曰:上禾一秉九斗四分斗之一。

　　中禾一秉四斗四分斗之一。

　　下禾一秉二斗四分斗之三。”^[2]

上题我们改用现代方式去解则可表示如下:

在《九章》中此题之后马上用术去解。解法用现代方式可写作:

1.以(1)式x的系数3乘(2)式各项，得

6x+9y+3z=102……………………………(4)

2.以(1)式两次减(4)式，得

5y+z=24……………………………………(5)

3.以(1)式x的系数3乘(3)式，得

3x+6y+9z=78……………………………(6)

4.以(1)式减(6)式，得

4y+8z=39…………………………………(7)

5.以(5)式y系数5乘(7)式，得

20y+40z=195………………………………(8)

6.以(5)式乘4减(8)式，得

36z=99，以9约之，得4z=11

然后用代入法，分别得到4y=17，4x=37于是x=9 ，y=，z=

可以看出。上述运算符合现代数学的矩阵法解线性方程组:

由解方程(线性方程组)导致产生负数，如在消元过程中常出现小数减大数的情形，因此在《九章》中出现了负数概念及正负术的加减运算法则。这是世界上最早记载负数及负数加减运算法则的书。

以上所介绍的方程术是中国古代数学的一大特色，并且在后来成为中国传统数学研究的一个重要分支。

(2)高次方程数值解

古代中国人在所著的数学著作中，把求现代意义下的高次方程正根的方法都叫开方术。这是中国古代数学中最为发达的一种方法。

为什么要将现代意义下的解高次方程的正根的方法叫开方术，古算书中并没有说明。但是后人通过研究开平方，开立方，解高次方程的方法，发现了解高次方程的正根的方法是由开平方、开立方的方法发展而来的。在公元3世纪时，我国古代著名的数学家刘徽在研究《九章算术》时，对于开平方、开立方都给出了几何解释。他认为，开平方的几何意义是已知一正方形的面积求其边长，开立方是已知一正方体的体积求其边长。这是最简单的一类二次、三次方程即x²=A，x³=B。

《九章》中的开方术是这样写的:开方术曰:置积为实，借一算，步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除，折法而下，复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法，复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。”^[3]以上方法首先是确定被开方数开出来是几位数，所用方法与现代方法相同。以被开方数的位数除以2，若除得尽，则开出来的方根的位数为商数，若除不尽则方根的位数为四舍五入后的数。例如55225开方后的方根位数为(5÷2)=2≈3。然后，先确定这个百位数的百位，其次是十位，最后是个位，刘徽对于开方术的解释是如图3－1开方术示意。

先确定黄甲的边长a₁，这是很容易的，因为从1到100的方根数可立即说出。然后从已知面积A中减出黄甲的面积(a₁·100)²为A－(a₁·100)²，因为a₁是百位数，所以要乘100后才为黄甲的边长。求方根的后二位数即相当于求减根方程x²+2·100a₁x=A－(a₁·100)²的正根，这一解题步骤叫开带从平方。是现代的一元二次方程。《九章》中继续议得a₂，然后由相似的步骤又议得a₃，若余实仍不为零则继续开方。其方法中的议a₃，a₂的过程需要用中国传统数学中的借助位置去计算的一些技巧，此处略去不详述。

有了开平方术，在《九章》中还有开立方术，是解三次方程数值解的基础。按照这样一条思路，中国古代数学到了13世纪时，已经可以列出并且解出系数为有理数，并且可以为负的任意次的高次方程了。这种方法叫天元术，相当于今天的含未知数的多项式方程。数学家们把天元术与方程术结合起来，便创造了二元术、三元术与四元术，即二元、三元、四元联立高次方程组的解法，所选择表示未知数的字为天、地、人、物。

图3-1　开方术示意图