一维内弹道方程组的求解

利用定步长龙格-库塔法求解一维内弹道方程组时，将装药通道长度Lp划分成若干份，在燃烧室头部x＝0处的速度边界值为v＝0， 而头部压强则需要通过迭代确定， 首先假定一个t时刻的头部压强值p（t）01（可以用t时刻的平衡压强），然后用龙格-库塔法依次求解装药通道的各截面，最终可得到x＝Lp处的静压值p（t）2。于是，由气体动力学函数π（λ）可以确定x＝Lp处的总压值p（t）02，即

式中， 下标 “2” 表示装药末端截面。 燃烧室装药末端的质量流率和喷管质量流率 （从装药末端至喷管出口假设为等熵流动） 分别为

根据质量守恒关系， 在准定常条件下， 以上两个质量流率应是相等的， 于是联立上述两式又可以得到一个装药末端的总压p02，即

这个总压值p02应与由式（8-115）确定的总压值p（t）02相等，如果不相等则表明假设的头部压强值p（t）01不正确，需要进行修正。头部压强值的修正可以用迭代公式

注意，式（8-117）左端的p（t′）01是修正后的头部压强值。修正p（t）01后，又可以用龙格-库塔法依次求解装药通道各截面的压强和速度， 这一迭代修正过程需要一直持续到满足精度要求为止。迭代精度可以用式（8-117）中的p（t）01相对误差来判断，即

式中，εp为预设的精度要求。

完成上述迭代过程以后就可以得到t时刻的一维内弹道压强曲线。 然后， 用相同的方法求解t＋Δt时刻的压强曲线， 以此类推， 直到解出全部燃烧时间内的一维内弹道压强曲线，求解过程如图8-26表示。

图8－26 一维内弹道压强计算过程

后效段计算过程可参考零维内弹道。 当符合等温条件时 （余药燃烧）， 采用的计算方程仍为式（8-111）；当余药燃烧结束时，注意后效段条件，即d Ap／dx＝0，通气面积为燃烧室内孔截面积。

例题 ［8－5］ 某发动机采用复合推进剂贴壁浇注的两端包覆星孔装药， 装药结构参数为： 星孔数7， 角分数ε＝0.7， 星根半角θ／2＝29°， 特征长度l＝29mm， 装药外径D＝114.9mm，星尖圆弧半径r＝3mm，星根圆弧半r1＝5mm，装药长Lp＝1750mm；发动机喷喉直径dt＝47mm；推进剂性能参数为：c∗＝1551m／s，密度ρp＝1691kg／m3，燃气比热容比γ＝1.222，燃速系数a＝4.3mm／（s·MPan），压强指数n＝0.4496。侵蚀比为

试计算一维p1-t曲线。

解： 装药肉厚为

按图8-26所示的计算过程编制成应用程序，可得p1-t曲线，如图8-27所示。图中同时给出了试验曲线， 可见计算结果与试验数据吻合良好。 由于考虑了装药 （余药） 几何参数在任意截面的变化， 一维内弹道的后效段与试验结果的符合程度有了较大改进。

图8－27 理想气体一维内弹道计算p1－t曲线

需要注意的是， 一维内弹道计算考虑了不同截面的变化， 因此不必使用平均侵蚀函数，使用最多的是速度侵蚀公式 （3-13）。