系统稳定性分析设计

9．2　系统稳定性分析设计

运放的频率补偿是电路系统设计的核心问题之一。运放系统设计包含以下两个层次：

（1）开环运放设计：包括各种运放的拓扑结构及其性能特点，主要是以低频增益为代表的各类静态指标，结构设计是其重点。采用与所选结构相适应的补偿结构，针对特定负载条件完成开环系统的频率补偿设计，使开环单位负反馈构成的闭环系统满足相位裕度PM和增益裕度GM的要求。这是一种从开环到闭环的一般性设计方法，开环设计是以一般条件下的闭环稳定为基本出发点。

（2）闭环运放设计：针对系统环路中存在有源反馈时的系统设计。由于反馈网络存在相位移，闭环系统的稳定性不再仅由开环运放决定，而且与反馈网络的频响特性有关，以上方法则无法适用。当然，系统设计的出发点和要求都是相同的，即闭环系统的稳定性。根据环路的PM确定运放必须具有的相位移和增益，再根据PM和增益要求构造运放的结构及其频率响应。运放的频率响应可由g_mz_o方式构造，这是一种典型的小信号开环电路设计方法；也可以采用运放内部闭环负反馈的设计方法，实现在整个系统中的开环小信号应用。考虑反馈网络频率特性的系统设计方法通常称为频率整形的设计方法。

9．2．1　多级系统开环与闭环稳定性

n阶闭环系统多项式中的最高项为a_nsⁿ项，共包含n个极点，B（s）＝a_nsⁿ＋…＋a₁s＋a₀。根据有界输入有界输出BIBO的稳定性条件，需要判别所有极点的性质。但对于高阶多项式，极点的求解十分困难。Routh－Hurwitz给出了根据多项式系数判断极点位置的判据，纵向依次列出s_n、…、s₁、s₀，并将多项式系数依次列在s_n和s_n－1两行中，采用有规律的行列式依次计算出各低阶s项中的系数。最后考察第1列系数，如该列系数均为正，则表明所有极点均为LHP极点，否则，出现的负系数个数，则代表出现同样数量的右半平面RHP极点，系统不再稳定。

表9－1给出了由Routh－Hurwitz定律给出的三阶和四阶闭环系统的稳定性判据。对于两阶系统，只要s多项式系数不小于0，则二阶系统一定稳定（不考虑相位裕度的要求）。若极点多项式系数均为非负数，且a₀通常归一化为1。在此前提下，对于三阶系统，系统稳定的附加条件只有1条，即a₃＜a₁a₂。通常s项系数a₁决定闭环的GBW，因此当a₃过大或a₂过小时，导致RHP极点（如RHP共轭复极点），闭环系统发散。

表9－1　三阶和四阶系统的Routh－Hurwitz稳定性判据

b₁＝－（a₀a₃－a₁a₂）　　a₀＝1

条件 a₀a₃＜a₁a₂

设开环主极点为p₁、高频次极点p₂、p₃决定的闭环特征方程的系数为a₁＝1/GBW、a₂≈1/（GBW_p2）、a₃＝1/（GBW_p2_p3），则稳定性条件转变为p₃＞GBW。因此，当环路增益T₀＝A₀F增加使GBW提高后，在开环高频极点p₃固定的条件下，随着T₀的增加，稳定性的约束条件越来越难以满足，即相位裕度越来越小。当T₀增加到p₃＜GBW后，系统发散，得到与根轨迹原理分析相同的结果。同样，对于四阶系统，稳定性的附加条件为两条，分别为a₁a₄＜a₂a₃、a₃²＋a₁² a₄＜a₁a₂a₃。

需要指出的是，Routh－Hurwitz是闭环系统稳定性的定性判据，而非定量判据。即Routh判据可以判断极点的LHP性质，当所有极点都满足LHP性质后，闭环系统稳定。但极点在LHP平面内的具体位置是不确定的，因此闭环系统的相位裕度和瞬态响应速度等具体动态性能同样也无法确定。对于闭环系统，只有当多项式系数完全确定且满足Routh准则后，极点的LHP性质和具体位置完全确定，对应的开环传递函数多项式系数和极点位置也完全确定下来，开环在单位增益带宽下的PM也相应确定。实际上，PM和GM是描述稳定的开环系统与闭环稳定性相关联的一种性质，PM和GM定量地描述了稳定开环所构成闭环系统的相对稳定程度或闭环进入不稳定状态的难易程度。

Routh定律适合高阶闭环系统稳定性的判定，而滤波环节等效法则给出了稳定闭环系统的一种设计方法。滤波电路可实现某一范围内频率的衰减，因此对单位增益闭环系统采用滤波结构设计法，如巴特沃思低通滤波器的等价的方法，可保证通带内最大的平坦度。由于滤波器的频谱分布被限定，意味着对应的多项式系数被限定于使系统稳定的范畴内。

闭环的稳定与非稳定存在本质区别，但就稳定系统自身而言，由于极点位置的差异，其瞬态响应特性（响应速度、过冲等）也存在很大的差异。正是这种瞬态特性的差异，当量变积累到一定程度后，可使系统从稳定过渡到临界稳定、甚至进入振荡状态。由环路决定的闭环系统离开临界稳定点的稳定程度，可用相位裕度和增益裕度表示。

9．2．2　两阶系统稳定性设计

Routh准则给出了高阶电路系统稳定性的判据，对于两阶系统，根据Routh定理，只要开环特征多项式系数均为正，则闭环系统一定稳定。然而，系统的稳定性的设计不但需要保持稳定的性质，还需获得合适的PM和GM，以使稳定系统的交直流特性最优。在此条件下，即使对于两阶系统，系统的稳定性设计不只是对LHP性质的判定那样简单，还需控制LHP极点合适的频率位置，以获得额定范围内的PM稳定指标。显然，对于两阶以上高阶闭环系统的稳定性设计，需要从闭环增益特征多项式s系数的控制入手。

由开环两阶增益系统的负反馈构成的闭环系统同样为二阶增益系统。二阶闭环传递函数中分母多项式的一般形式均可表示为

式中各参量均针对两阶闭环系统，其中ω_n为特征频率，Q为品质因子，Q与阻尼因子ζ并满足Qζ＝1/2的约束条件。式中各s项的系数均为正是构成LHP极点的必要条件，由Routh判据可得到两阶闭环系统稳定的（含临界稳定）结论。但考虑PM和GM等稳定性指标后，即使对两阶系统，也需通过闭环系统的Q或ζ值即特征方程的系数控制，设定LHP极点合适的位置分布，实现稳定的相位裕度的要求。比较式（9－1）中的对应项系数，有

F（s）＝0的判别多项式为Δ＝（1－4Q²）^1/2/（ω_nQ），品质因子Q的大小决定极点的性质、位置和相位裕度，并由此影响瞬态特性。闭环稳定性的差异与闭环的幅度过冲有关，即过冲幅度与PM发生关联。根据前文分析的系统幅频特性可知，产生过冲的临界点为Q＝ζ＝0．707。Q＜0．707，ζ＞0．707时可认为无峰值过冲；否则，Q越大，ζ越小，则幅度过冲效应越显著。过冲越大，系统稳定性和PM均下降。在Q＝0．707的临界条件下，两阶闭环系统的PM最为合适。设ω_t为环路增益A_oLF的交点频率，两级开环运放增益为

设GBW＝A₀p₁＝ω₁为开环单位增益带宽，在s》p₁的高频条件下，开环传递函数简化为

注意到环路增益的交点频率ω_t与开环运放增益交点的单位增益带宽GBW可能存在不同，由｜A_oL（s）F｜＝1，得到两者有如下关系：考虑到此时满足ω_t》p₁的高频条件成立，因此有

显然，在单位负反馈F＝1下，若次极点频率p₂远大于ω_t，则GBW＝ω_t。对于以上开环系统，以F反馈系数所构成的闭环传递函数为

设直流低频下的闭环增益为A_CL（0）＝A₀/（1＋FA₀），则归一化的闭环传递函数为

根据构成闭环的开环系统极点特征多项式的b₁、b₂的系数，求出其Q值因子并在p₁《p₂的条件下将其简化为

对于其中F＝1的单位闭环负反馈系统特例，控制Q值，即等效控制了GBW与高频次极点的关系。当时，p₂＝2GBW，满足基本相位裕度的要求。

通常低频增益满足1/A₀《F的条件，并设p₂》p₁，GBW＝A₀p₁，则式（9－7）可近似为

式中特征频率ω_n和Q值分别为

闭环稳定性的要求为p₂＞GBW。在低Q条件下，根据以上关系，有F×GBW＝Qω_n、p₂＝ω_n/Q，Q²＝F×GBW/p₂。闭环在特征频率ω_n下其增益低于0dB的距离为Q/F＝GBW/ω_n，没有过冲时则系统稳定。这里，Q值特指闭环系统而非开环系统的品质因子。

若p₂＜GBW，将导致特征频率ω_n下降，或Q值增加。当p₂降低时，Q＞0．5导致共轭复极点产生，p₂的进一步降低使Q＞0．707满足后导致过冲产生。这样，闭环的0dB点将略高于ω_n点，而在此0dB点下的相位裕度已降至很低，甚至为负，进入非稳定区域。

因此，对于F＝1的单位负反馈两极点闭环系统，相位裕度的求解分两种情况，一是Q＜0．707的低Q状态，另一是Q＞0．707的高Q状态。需要注意的是，这里的Q值为闭环而非开环系统的品质因子。

（1）Q＜0．707的状态

当Q＜0．707，闭环无峰值，导致闭环无0dB交点，由于主次极点随Q值的下降分离度逐渐增大，则开环增益的0dB频率点即由ω＝GBW决定，环路增益的相位裕度为PM，并利用arctan（x）＋arctan（1/x）＝90°的性质，得到开环增益在单位负反馈下的相位裕度为

式中Q²＝GBW/p₂＝A₀（p₁/p₂）。在Q²＝1/2的临界条件下，PM＝63°；Q²＝1/4时，PM＝76°。随着Q值的降低，主次极点的分离使相位裕度逐渐增大。

（2）Q＞0．707的状态

由于Q＞0．707，则闭环产生峰值，随着Q值的提高，主次极点逐渐靠近并成为一对共轭复极点，开环增益的0dB点偏离原来的GBW，也就是说GBW＝A₀p₁在此条件下并非真正的开环单位增益带宽，而必须由（9－4）式中｜A（jω）｜＝1的条件确定实际的单位增益带宽点ω_t。设x＝（ω_t/GBW）²，则0dB条件给出的约束为Q⁴ x²＋x－1＝0。由此解出归一化的0dB带宽频率为

经变换，得

则环路增益的相位裕度为

经变换，得到

在Q＝0．707的临界条件下，计算得到PM＝65．5°，与以上临界条件的计算结果近似相同。当Q＝1时，PM＝52°，即随着Q值的增加，PM下降。分析表明，当上式中的Q→0时，有

以上结果与式（9－11）的低Q结果近似相同。当Q→∞时，有

因此式（9－15）的相位裕度在任意Q值下均能适用。当相位裕度PM＝1°时，由式（9－17）关系得Q≈1/tan1°＝cot1°＝57，这意味着在特征频率ω_n下，闭环增益存在严重过冲。瞬态输出的暂态分量的消失需要很长时间，而当相位裕度为0°，则暂态分量长久维持形成振荡。

对于二阶巴特沃思滤波器设计，其闭环特征多项式系数分别为b₀＝1、b₁＝2，b₂＝1，即特性多项式为B（s）＝1＋2s/ω₀＋s²/ω₀²，Q＝1/2，ζ＝1。根据开环与闭环的对应关系，得到的两阶开环增益为

显然，此开环系统一定是分离的LHP实极点，单位增益带宽GBW＝ω₀/2，p₂＝2ω₀，GBW下总的相位移为φ＝90°＋arctan（GBW/p₂）＝90°＋arctan（1/4）＝104°，相位裕度PM＝arctan（1/Q₂）＝arctan4＝76°。

9．2．3　三阶系统稳定性设计

三级增益结构是在两级增益的基础上发展而来的，并至少存在3个以上的极点，而且相互关系变得复杂，甚至包含高频RHP或LHP零点。对于三阶以上系统，开环与闭环不改变系统的阶次性质，因此可采用巴特沃思滤波器等效设计方法。三阶巴特沃思滤波器的闭环系统设计具有PM＝60°的相位裕度，B（s）＝1＋2s/ω₀＋2s²/ω₀²＋s³/ω₀³为其归一化特征多项式的标准形式。

1）由闭环确定开环

根据闭环与开环稳定性的关系，先确定闭环稳定性条件，再得出所需要的开环运放状态。

根据滤波器电路系统的理论分析，对于三阶单位负反馈闭环系统，若满足巴特沃思的带内最大平坦度响应，则闭环系统一定稳定。在此特定的响应条件下，归一化闭环系统传递函数H（s）为

H（s）由开环传递函数A（s）的单位负反馈构成，由于H（s）稳定，A（s）也同样稳定。忽略零点的影响后，A（s）构成的H（s）具有60°的相位裕度，此时在非直流低频下的开环增益应为

毫无疑问，开环的GBW必须与ω₀发生特定的联系，才能实现巴特沃思的响应特性。进行变量代换，设则

对于满足巴特沃思的闭环响应状态，要求的开环增益没有零点（或无穷远零点），当零点远远大于GBW时，零点的影响可以忽略。反过来说，开环系统的有限零点频率将对闭环特性产生重要影响，以下的分析暂时忽略零点的影响。

开环A（s）中存在一个低频直流极点，又称为原点极点，该极点的作用是提升低频直流增益，但在高频下引入90°的相位迟滞。由于另外两个极点为共轭复极点，并在ζω_n的频率下引入90°的相位移。根据GBW＝A₀p₁的定义以及限定的GBW＝ω₀/2关系，有

因此，巴特沃思响应要求开环的GBW必定限制在（ζ/2）ω_n的范围内。此时除了一个低频主极点外，另外两个共轭复极点可表示为在传递函数的分母多项式中代入的条件，得到的频率响应特性为

在ω＝GBW的频率下，根据以上共轭复极点关系，由共轭复极点形成的相位移φ为

根据GBW/ω₀＝1/2以及的条件，φ＝arctan［（1×1/2/（1－1/8））＝arctan（4/7）≈30°。在以上三阶巴特沃思响应条件下，由于GBW》p₁，相位裕度为PM＝180°－arctan（GBW/p₁）－φ＝90°－φ≈60°。

针对其他类型的三阶系统设计中，降低（GBW/ω_n）或通过引入适度零点，可增加相位裕度。ζ与Q两者满足ζQ＝1/2的制约关系，则ζ或Q由电路中的补偿结构类型和具体的补偿电容C_m决定。在巴特沃思系统响应的设计中，Miller电容C_m的作用应控制在使ζ＝Q＝以实现闭环下60°的相位裕度。

根据式（9－24），当ζ减小后相位移减小、相位裕度将增加。但实际情况并非如此，ζ减小即Q增大后输出存在过冲，原有的带宽关系不再满足。GBW增加，导致GBW/ω_n增加，式（9－24）计算得到的相位移增加，导致PM下降，系统稳定性下降。

只有在的开环增益下，b₁s和b₂s²项的系数比当b₁/b₂≠2ω₀，则意味着当b₁/b₂＜2ω₀时，即系数b₁减小导致ζ降低，输出过冲，PM下降；相反当b₁/b₂＞2ω₀时，即系数b₁增加导致ζ增加，Q减小，高频复极点裂变为两个实极点，导致GBW下降、PM增加。因此，对于实LHP极点，主要是通过极点的分离度及其与GBW的相对位置关系调节稳定性；对于LHP复极点，则主要是通过ζ因子或Q因子及GBW位置，控制闭环系统的稳定性。闭环巴特沃思响应是最佳的系统响应设计之一。

若补偿结构选择不当，或补偿电容C_m参数选取不当，ζ或Q将偏离所需的状态，造成系统稳定性和性能的变化。当ζ过小（＜1）、Q过大（＞1/2）时，共轭复极点向虚轴靠近，产生大的过冲峰值，使PM和GM退化；相反，当ζ过大（＞1）、Q过小（＜1/2），共轭复极点将退变成两个分离的实数极点，分别为Qω₀和ω₀/Q，对于三阶系统，则开环的GBW带宽必须压缩至Qω₀/2以内，与原来的GBW相比降低Q（＜1/2）倍。由此，从稳定性考虑，Q不宜过大或过小，最佳的状态则为

2）由开环确定闭环

由巴特沃思三阶闭环响应确定出唯一的开环传递函数是开环系统一种特殊的设计方法，该方法可确保开环运放具有60°的相位裕度，高频极点限定为共轭复极点，且不存在零点的影响。而三阶开环系统更为一般的设计方法，则是根据开环与闭环的相互关系，直接确定开环的传递函数，此时可以考虑开环零点的影响。设包含1个零点、3个极点的三阶系统，若主极点近似的条件依然成立，a》b₁，p₁＝1/a，则

在中高频率下忽略直流增益的影响后，开环增益近似为

则单位负反馈下的闭环增益为

开环的零点不但仍保持为闭环系统的零点，同时开环零点对闭环系统的极点也有重要影响。当只有1个零点时，影响s项系数；当存在2个零点时，则影响s、s²项系数，并以此类推。理论上讲，开环零点对闭环的各极点均有影响，零点频率越低、零点数越多，影响越大。只有在｜z｜》GBW的条件下，零点的影响才能忽略。对以上闭环传递函数进行整理，可得：

若z→∞，则可退化为巴特沃思滤波器的闭环特性设计。在更一般的条件下，对于受零点影响的a_i系数，可采用Routh－Hurwitz稳定性判据（LHP极点性质）确定系统稳定的条件。对于上式给出的三阶系统，根据A_f（s）分母多项式系数的a₁a₂＞a₃的稳定性要求，得到b₁/b₂＞GBW。

巴特沃思响应就是满足以上条件的一个特例，即

在系数a_i满足以上条件的前提下，a₁通常决定主极点频率p₁。由此定义GBW的大小，a₂和a₃确定2个次极点的位置，可以是一对共轭复极点或分离的两个实极点。在不同的极点性质和条件下，通过控制过冲（LHP复极点）和次极点的相对位置（LHP分离的实极点），从而确定开环系统的PM，保证闭环系统的稳定。因此，由开环确定到闭环的设计方法中，开环结构的设计并不是唯一的。

将式（9－25）包含一个LHP零点的开环增益表示为以下标准形式，即

根据上式A（s）在s＝GBW频率下的相位移，则开环系统的相位裕度PM为

变化后得

考虑到高频零点的作用使z/GBW＞1，且GBW/ω₀＜1，并利用90°－arctan（x）＝arctan（1/x）以及tan（180°－θ）＝－tanθ的性质，对上式两边同时作正切变换，有

式中a因子、PM与零点的相位特性有关，由此解出

对于没有零点，或零点无穷远的条件，以上关系依然成立，此时零点的相位移为0，而arctan（z/GBW）＝90°，a＝tan（PM＋90°）＝－ctan（PM）。对于PM＝60°的相位裕度，a＝－tan30°≈－0．577，相比存在零点作用下的a值其绝对值变小。因此，开环GBW与特征频率ω₀的比值及阻尼因子ζ的设计应选取合适的a值，使PM相位满足系统稳定性要求。

开环系统的频率特性不但与零点、a值有关，还与阻尼因子ζ有关。在ζ＞1的分离实极点条件下，根据系统的两次极点p_3，2＝ω₀［ζ±（ζ²－1）^1/2］的关系，若z＝p₃，即z＝ω₀［ζ＋（ζ²－1）^1/2］。与上式联立求解后得到的阻尼因子为

对于实极点状态，在零点z补偿高频次极点p₃的条件下，PM的计算可以简化，由于z＝p₃抵消后，三极系统简化为两极点系统，根据两级系统的p₁与p₂关系，以及闭环下的Q值大小，可计算得到系统的相位裕度特性。