过滤理论的研究

5．1．1　过滤理论的研究

人们对滤饼过滤的研究始于19世纪初，但对过滤速率的理论描述却始于19世纪中期。过滤理论的最初实验研究是由达西进行的^［147］，他研究水流经不同厚度的砂床时水流速度的变化规律。1856年提出著名的渗流经验公式，即Darcy定律^［148］：

式（5．2）说明：滤液通过滤层的平均线速度与压强差成正比，与滤层厚度成反比，流体通过滤层的流动属于层流，流体粘度对层流运动有显著的影响。

1908年，Hatschek首次提出，流体流过过滤介质及滤饼孔道时受到的摩擦力是产生过滤阻力的主要原因。从而引导人们将研究重点集中在过滤阻力及直接决定过滤阻力的滤饼内部结构上^［149］。Carman和Ruth引入了压缩渗透性实验进行过滤的理论分析，从而开始了滤饼内部过滤机理的分析和研究^［150］。

由于滤层厚度L和滤层渗透性系数k实质上是以阻力形式影响过滤过程的，20世纪30年代，Ruth通过对滤饼阻力的大量研究，提出了过滤基本方程，因此，式（5．2）通常表示为：

其余符号含义同前。

式（5．3）引入滤饼比阻概念，其大小表示过滤的难易程度，使过滤原理表达更为清晰。表明滤液粘度也影响过滤速度，但实践中由于滤液的粘度变化不大，因此影响也不显著。

在实际过滤过程中，微细颗粒的堵塞会使过滤介质阻力升高。但对工业过滤机而言，一则不应选易被堵塞的过滤介质；二则即使过滤伊始介质因部分堵塞而使阻力Rm有所上升，而一旦介质表面有滤饼形成，Rm变化很小。实验研究已证实了这种观点。因此，过滤介质阻力常常被假定为常数。

在实际过滤操作中，滤饼阻力随过滤时间的延长而增大，影响滤饼阻力的因素很多，对于不可压缩滤饼，滤饼阻力通常与过滤介质表面沉积的固体物料量成线性关系，因此，可用下式表达：

可用下式表示：

C＝（1－ε）vρs　　　　　　　　　　（5．6）

显然，a_m与a_v之间存在如下关系：

a_vv＝a_mC　　　　　（5．7）

将式（5．6）代入式（5．7）得：

a_v＝a_m（1－ε）ρ_s　　　　（5．8）

式（5．8）说明：滤饼平均体积比阻与滤饼平均质量比阻的数量关系。

将式（5．4）代入式（5．3），得到人们所熟知的Ruth过滤方程：

可用下式表示：

ΔP＝ΔP_c＋ΔP_m　　　　　（5．10）

与滤饼阻力有关，它是时间的函数，在时间t内，m和滤液累计体积V之间的关系为：

mA＝CV　　　　　　　　　　　　　　（5．11）

式中：C———单位体积滤液中的干滤饼质量，kg／m³。

式（5．11）中假定滤液中不含固体，且未考虑滤饼中的残留液体，故所计算出的滤饼质量要小于实际值。因此，在某些情况下，尤其是在过滤高浓度悬浮液时，则应考虑滤饼中的残留水分。由物料平衡可推导出：

对于可压缩滤饼，滤饼质量m随滤饼厚度而变化，反映了滤饼过滤的难易程度。

m＝Lρ_s（1－ε）　　　　　　　（5．14）

将式（5．14）代入式（5．4）则：

R_c＝a_mLρ_s（1－ε）　　　　　　　　　　　　　　　　　（5．15）

式（5．9）在推导过程中，假设a_m为一常数，过滤面积为一常数，通过滤饼的滤液流速从进入到离开滤饼沿程不变，并且不考虑固体颗粒在滤层中的运动等因素。格拉等人认为，细粒煤浆过滤时所形成的滤饼是不可压缩的，过滤面积恒定，但在滤饼形成的最初过程中，滤饼比阻不可能是常数^［151］。而且Ruth公式没有阐明滤饼过滤过程的内部结构，也没有对工业过滤中遇到的许多特殊问题做出合理解释，因此具有一定的局限性^［152］。虽然如此，采用Ruth公式进行近似计算，用滤饼平均质量比阻a_m来反映整个滤饼对流体的阻滞性质还是可行的。

过滤理论研究最初起源于豪根－泊萧叶（Hogen－Poiseuille）定律的应用。对于流体在圆形直管中作层流运动，他于1842年从理论上推导出流速与压降之间的关系^{［153，154］}：

滤液通过颗粒滤层的流动一般是层流，假定颗粒滤层是由若干毛细管通道组成，则式（5．16）表示的规律同样也适用于滤液通过颗粒滤层的情况。

为了将式（5．16）用于颗粒滤层解决过滤问题，柯兹尼和卡尔曼在研究澄清液通过填充床的规律时，利用了流体穿过毛细管的泊萧叶定律，他们假设粉末填充床的孔隙空间为一束平行的、有相同当量直径的毛细管，考虑到滤层中的通道不是圆形的，曾建议用填充床孔隙的水力学半径RH代替式（5．16）中的d₀得：

RH———水力学半径。可定义为：

若颗粒滤层的平均孔隙率为ε，则有：

故孔体积为：

将式（5．20）代入式（5．19）得：

若假定颗粒滤层中流体通道都是直的，则滤液通过颗粒滤层中孔隙的流速为：

式（5．22）说明：在多孔介质的孔隙中，由于可供滤液质点流动的空间减少，因此孔隙流动速度一定比整体流动速度大。

一般情况下，滤层中的流体不是直的而是弯弯曲曲的，若滤层中弯曲通道的有效长度为Le，显然Le＞L，L为滤层厚度，即弯曲度＝Le／L＞1。一根直管若被弯曲变形，则必受到拉伸，导致管的截面必有某种程度的收缩，在一定流量条件下，流速必然有所增加，流速的增加与弯曲度成正比。故滤液通过滤层中弯曲通道的流速u₂为：

式（5．17）用于多孔床层时，应以u₂代替u，Le代替L，得：

将式（5．21）、式（5．23）代入式（5．24）得到Kozeny－Carman方程^［145］：

也可用下式表示：

式（5．25）表明：过滤速度与过滤物料性质关系密切。研究表明，颗粒的表面性质及助滤剂的类型、结构、用量等对过滤速度均有显著的影响。

比较式（5．2）、式（5．25）可得出渗透性系数k、柯兹尼常数k₁之间的关系为：

当过滤介质阻力Rm忽略不计时，比较式（5．3）、式（5．15）、式（5．25），可得滤饼平均质量比阻a_m为：

将式（5．28）代入式（5．8）得滤饼平均体积比阻a_ν为：

式（5．28）、式（5．29）表示了滤饼比阻和物料颗粒比表面积、密度及滤饼孔隙率之间的关系，滤饼平均比阻与物料颗粒比表面积的平方成正比，与孔隙率的立方成反比。这两个参数都受颗粒粒度分布的影响，细粒含量高，比表面积大，孔隙率低，物料中夹带水分较多，难以脱除，表明物料粒度显著影响滤饼比阻，揭示了物料粒度越细越难以过滤的原因。

可见，Carman完善了Ruth提出的过滤速率表达式，缩短了过滤理论与实践间的距离，仍是迄今唯一由滤饼结构特性、颗粒尺寸预测滤饼比阻与过滤速率的理论计算公式。但随着现代过滤理论的发展以及人们对滤饼结构的不断认识，Kozeny－Carman方程显示出以下不足：

（1）据式（5．28）得出，在物料颗粒形状、粒度一定的条件下，孔隙率是影响滤饼比阻的主要因素。然而，滤液在大小不同的孔隙中流动，其速率取决于孔隙尺寸大小，而不是孔隙率大小。相同孔隙率的滤饼也可能具有不同的孔隙分布，故具有不同的滤饼阻力。滤饼中大孔径孔隙含量越高，滤饼阻力越小，过滤速率越高。因此，决定滤饼阻力以及过滤速率大小的主要因素应该是滤饼孔隙尺寸及其分布。

（2）对于不可压缩滤饼，Tiller F．M．及白户纹平等提出的现代过滤理论^{［155，156］}，指出滤饼两侧的压强差使滤饼颗粒之间相互作用，在滤饼中产生压缩压强，导致滤饼颗粒变形，使滤饼孔隙率沿流体流动方向逐层变化，式（5．28）中k₁、S₀、ε沿此方向相应发生变化。因此，用式（5．28）预测可压缩性滤饼比阻，偏差较大。

（3）Rushton等人证明^{［157，158］}，滤饼孔隙率、滤饼比阻不仅是过滤压差的函数，而且与过滤时间、过滤速率以及料浆浓度有关。在恒压过滤过程中，随着料浆浓度的增大，滤饼阻力会经历一个最大值。而式（5．28）没有能考虑以上各因素的影响。

Kozeny－Carman方程揭示了过滤过程各影响因素之间的内在联系，该方程与Ruth方程共同奠定了过滤理论的研究基础。但没有明确表达操作压力、料浆浓度等因素对滤饼孔隙率、孔隙尺寸以及滤饼比阻的影响，需进一步完善，需要对决定滤饼比阻大小的滤饼结构作更深入的研究。