基于分形方法的城市空间形态特征研究

基于分形方法的城市空间形态特征研究

张毅　余洁　樊玮

【摘要】本文以地理信息系统为平台，以武汉市为试验区，计算不同用地类型在不同时期的分形维数，揭示其分形特征，例如，居民地、工业用地、植被等。作为描述分形体的唯一不变量，分形维数对于城市分形特征的刻画起着重要作用。类似于其他分形体，分形城市也具有自相似性，在某种程度上，分形维数可以作为城市扩张的指示器，它随着城市空间形态的演变在不同的时空尺度上变化，在此基础上，利用分形维数，选取适当的分形元，模拟城市空间形态的重要组成部分——城市边界，然后作者在Visual Basic环境下利用ArcGIS的相关组件构建元胞自动机(CA)模型，对城市空间形态的演变进行动态模拟，揭示其时空变化特征。从文中的实验结果看，武汉市的城市空间形态具有明显的分形特征，分形维数的变化反映了其随时间变化的特点，也与人们直观的对空间形态变化的认识相吻合。对城市边界线的分形模拟在保持相似性的同时展现了更多的细节信息。文中利用ArcObjects的相关组件构建的元胞自动机(CA)模型，一方面增强了GIS的时空动态建模功能，将CA作为动态空间模拟框架纳入到GIS分析中;另一方面，GIS强大的空间数据处理能力可以为CA模型准备数据和定义有效的元胞转换规则以及对模拟结果进行可视化，方便CA模型的校验和决策支持。

【关键词】分形维数　元胞自动机(CA)模型　分形模拟　边界模拟

1.引　　言

分形理论由美国科学家曼得尔布罗特于20世纪70年代中期创立^［1］，与耗散结构论、混沌论一样都是近三四十多年来发展起来的一门新学科。用分形理论刻画自然界中一些不规则、不稳定和具有高度复杂结构的现象并收到异乎寻常的效果^［2，3］，这些应用不仅促进了分形理论本身的发展，而且深化了对纷繁复杂地理现象特征及其内在成因机制的认识。分形理论为城市地理现象的描述提供了良好的数学工具，也为地理系统的分形模拟提供了数理基础，藉此国内外学者借助分形理论对城市的形态结构及发展演化做了大量的研究，并逐渐形成了分形城市的概念。

在实际工作中，人们发现，城市各种用地类型的地块及城市边界的形状由于多种因素的影响和制约，常常极为复杂，而且具有自相似性，可以用分形的方法来处理各种地块和城市边界线，并计算出其分维。随着时间的流逝，城市用地类型及城市边界线在不断地发生变化，随之其分维值也相应发生变化，于是分维就与城市空间拓展和城市生长的历史进程相联系，通过分维的研究，就可以捕捉到许多曾在某个研究城市曾经发生过的历史事实。在此基础上，有学者对城市分形的生长和空间的扩展进行了模拟，开辟了城市分形模拟研究的新途径^［4］。

城市的边界、网络，用地以及形态等各个方面都是处于动态演化的，并融合为城市增长过程。因此城市的分形模拟应该能够整合并展现上述这些方面的演变内容。当然，实际的动态建模会有所侧重^［5］。目前，常见的分形增长模型有这样几种:扩散凝聚模型(Diffusion-Limited Aggregation model，简称DLA模型)，电介质击穿模型(Dielectric Breakdown Model，简称DBM模型)，以及元胞自动机模型(Cellular Automata Model，简称CA模型)等。其中，DLA模型与其相似的DBM模型只能模拟城市的生长聚集，难以表达土地使用和交通等内容，因而一直没有得到广泛的应用。而CA模型基于一组简单的演化规则可以产生非常复杂的空间结构，通过CA模拟，就可能揭示复杂地理系统的简单规律。CA模型在城市生长、城市体系形成、区域土地利用和形态演变等方面应用广泛^［6］。

2.城市空间形态的分形刻画

2.1　城市空间形态的分形描述

城市空间形态是由各种功能用地综合而成的，包括商业用地、工业用地、农业用地、绿化植被、水体以及交通道路网络等，这些功能用地错落有致地分布在城市不同的位置，发挥各自的作用，随着城市的不断发展，城市空间不断扩张，各种功能用地之间的空间关系趋于复杂，这使得城市空间形态有可能具有分形特征，基于分形方法的城市空间形态特征研究往往从这些构成城市空间形态的各种用地类型入手，考察他们的分形特征，而作为描述分形体的唯一不变量，分形维数是考查的重点^［7］。

2.2　分维计算的数学模型及地学意义

分维是刻画分形很好的不变量，它反映了分形体的基本特征，在传统欧氏几何学中，我们所涉及的维数都是整数，例如:点、线、面的维数分别为1、2、3，而分形的维数一般都不是整数，例如:具有严格自相似性的Koch曲线，它是由一条直线段三等分后，然后将分形元的各个线段用更小的分形元迭代得到的，通过计算，Koch曲线的分维数是D=lg4/lg3=1.26186。M.Batty和P.A.Loneley测出英国Cardiff市边界不同年份的分维数^［8］:1886年，D=1.124;1901年，D=1.118;1922年，D=1.119; 1949年，D=1.127，如图1所示。

分形模型的数学描述:

N(r)=cr^D　　(1)

其中，N(r)表示以r为特征尺度的物体的个数(测度)，c为比例系数，D是分形维数，两边取对数后得:

lnN(r)=D·lnr+lnc　　(2)

图1　Cardiff市的边界演变

不妨设lnN(r)=Y，lnr=X，lnc=C，则公式(2)可以写成:

Y=D×X+C　　(3)

在分形无标度区，测得多组关于X、Y的数据，再通过最小二乘法拟合公式(3)所表示的直线，那么，拟合直线的斜率即为分形维数。拟合公式如下:

在城市形态演变的分形研究中，r可以代表量度某种用地类型或城市道路的尺度，N(r)代表了这种尺度下的测度，如果它们之间存在这样的标度不变规律:

N(r)∝r^D　　(5)

则可以认为城市土地利用形态或城市道路分布具有分形性质:它们的空间结构特征不会随量度尺度的变化而变化^［9］。

2.3　数据处理

文中的实验均以武汉市为实验样区，数据大致覆盖了相同的空间范围，各自的年份也具有代表性，能够反映武汉市在不同时间段的发展特征，分别是:1950年、1959年、1980年、1989年、1997年和2010年的城市规划图。用地理信息系统软件(ArcGIS)对其进行矢量化处理，提取各种用地类型的地块，居民地、工业用地、植被、水体、城市边界，等等。文中的城市边界抽象为连续的曲线，将城市边界矢量化为线状地物。因此可以获得五个图层来进行分形维数的计算。文中所使用的盒维数法在地理学中得到广泛应用。先将矢量化过程中得到的矢量图层栅格化，再利用盒维数法计算各种用地类型地块的分形维数。文中的城市规划图代表了武汉市城市空间演化的主要过程，分别是新中国成立初期、改革开放初期、20世纪90年代，在这一时期城市正在急剧地扩张。

2.4　结果分析

如表1所示，文中列举了一些具有代表性的年份，第一阶段(1949～1960)新中国刚刚成立，国民经济开始从旧社会的废墟中复苏，渐渐步入一个正常的发展轨道，城市人口和面积逐年增长，在1957年，随着第一座长江大桥和江汉桥的修建成功，武汉三镇第一次被连为一体，整个城市空间一点点地往外扩张。除了水体以外，其他用地类型的分形维数有明显的增加，其中，工业用地分形维数的增长速度是最快的，这要归功于新中国成立十年的政策影响，工业用地的分形维数以每年0.7%的速度递增，在“多扩散少集中”方针的指引下，国家将更多资金用于工业增长，这为城市的发展提供了良好的机遇，由于一系列新的工业区域的形成及其配套的工人居住区的兴建，旧的城市边界被打破，整个城市空间形态正在经历一场巨大的变化。第二阶段(1960～1980)这是一个混乱和躁动不安的时代，城市规划和功能基础设施的建设被严重削弱，城市的扩张主要是由工业化推动的，而且这种扩张非常明显地发生在主要交通线路的两侧，城市内部均是大片的空地，空间形态变得越来越复杂。分形维数的增长比前一阶段要小得多，最明显的特征是伴随着工业的增长，工业用地周围建立了许多新的居民区，并形成了工业和居民区交互在一起的区域。工业用地和居民地的分形维数分别以每年0.1%和0.11%的速度递增。由于工业和居民地的扩张，植被面积明显下降，相应的分形维数也有所下降，如表1所示。与整个城市的空间形态演化相比，水系空间形态的变化相对较小，分形维数也只在很小的范围内波动。第三阶段(1980～2000)改革开放有如强有力的发动机，它使得武汉市的工业进入了一个高速发展的阶段。工业用地的扩张已很明显地向城市外围蔓延，一些新的经济技术开发区出现在远离市中心的区域，例如武昌的光谷、汉阳的屯口，同时在郊区出现了一些工业镇，如:新沟、葛店、津口，等等。居民区逐渐从工业用地中分离出来，许多独立的居民区散布在新发展起来的城市地段。工业用地和居民地的分形维数的增长都非常明显。以每年11.5%增长的居民区具有更加复杂的空间形态。城市区域以及空间形态的复杂性随着城市新地块的增加而不断增长，但这并没有导致由闭合曲线构成的城市边界线有类似的增长。在不同时期城市边界分形维数的浮动变化并不与同时期工业和居民地分形维数的变化相吻合。这是因为工业或居民地的发展会形成一些规则的边界线，它们是构成整个城市边界的一部分，如图2直观地显示了分形维数随时间的变化特征。

表1　武汉市各种用地类型分形维数的计算结果

图2　分维数随时间变化

3.城市边界的分形模拟

空间形态的分形维数在不同的时间尺度上具有遗传演化的特点，它的变化主要受到人类活动的影响^［10］。在上一节中，不同时期不同用地类型的分形维数已由盒维数法计算得到。对照表1中的结果，不难发现分形维数的变化完全与事实情况相符，城市化是武汉市的一个持续不断的过程，城市空间形态变得越来越复杂，这表明分形维数是城市区域及其尺度的良好的指示器，它可以很好地描述城市化进程的程度。定量地研究城市空间形态特征对城市的规划和管理具有重要意义，但是仅仅发现分形维数与城市空间形态的关系是不够的，分形理论应当在地理学的研究中发挥更重要的作用，分形维数将被更广泛地运用于空间分析。学者们倾向于使用一些地理的或非地理的因素来模拟城市化的过程，其中分形维数经常被考虑到。在这一节中，作者更多关注城市的边界线，与海岸线、云团、闪电类似，城市边界线同样具有自相似性，这些分形体很难用传统的欧几里德几何予以描述，自从分形几何理论创立后，许多分形元被用来模拟这些曲线，例如中点分形元^［11］。

3.1　分形元及其维数

根据公式(1)，分形维数D可以由式(6)求得

图3显示的是中点细分分形元:

根据公式(5)中点细分分形元的分形维数为:

变换后，

图3　中点细分分形元

因此，分形维数与分形元形状之间的关系可以由公式(8)确定，

如果分形维数可以通过某种方法计算得到，α的值就可以由公式(9)求出，因此，基于不同分形维数的分形元就可以被确定。基于这一想法，那些具有不同分形维数的“病态”曲线就可以使用相应的分形元来进行模拟。由于人们无法存储每一个尺度的线状城市边界线，如何由一个尺度的数据来产生另一个尺度的数据而不改变他们的形态是一个在制图学中经常被提及的问题^［12］。一些传统的方法更多关注线状元素的光滑性而忽略了空间变化时的各向同性这一明显的地理特征。利用分形维数进行模拟可以很好地展现线状地物的复杂性和精细结构，并保持形态上的相似性。

3.2　边界模拟

边界模拟过程是用分形元来逐一替代边界曲线上的线段，这将产生一个新的具有更多细节的边界。当曲线中的线段长度小于某一值时迭代过程就被终止。

3.2.1　简单线状模拟

首先从一条简单的曲线出发，对其进行模拟，按照规则，曲线的形状会随着迭代过程发生变化，构成曲线的每条线段都将由这些分形元来替代，这一过程最终将终止于那些在某一尺度下长度小于阈值的线段。如图4所示，为不同长度阈值下获得的结果。

黑色的是原曲线，我们用分形元来对它进行模拟，粉红色的是模拟出来的曲线。非常明显，模拟的结果受到长度阈值的影响，如果线段长度大于阈值，则它将被分形元替换，否则保持原形。阈值增大则曲线细节减少，反之亦反。如图5所示，阈值从2个像素增加到40个像素，最后原曲线完全被模拟曲线所覆盖。事实上，在地图上如果一条代表城市边界的线段过长了，说明它很有可能是某个规则建筑物的边界，所以当地图放大时它不会有更多的精细结构出现。

3.2.2　分形元的确定及坐标数据的获取

城市通常是以二维平面的形式展现在我们面前，因此，城市的边界也应当是一些区域，它们是整个城市空间形态的一部分。在本文的实验中将城市边界定义为闭合曲线，它们在不同时期的分形维数已在前文中求得，并在表1中列出。根据公式(8)，角度α可以通过分形维数D来确定，每一条线段的分形元都可以由α及线段长度来确定。在矢量化的过程中城市边界线的坐标已经记录下来了，因此，每条线段的长度可以求得，如图5所示。

图4　简单曲线分形模拟

图5　分形元的确定

一条具有分形维数D的曲线，它的坐标为(X0，Y0)，(X1，Y1)…(X4，Y4)，以线段BC为例，由于分形维数和B、C的坐标为已知，那么角度α可以由公式(9)求得，长度和水平角很容易就可以获得，分形元将由这些因素来定义。由于自然分形体的不确定性及空间现象的机制还没有被深刻地理解，因此在模拟的过程中需要加入一些随机因素，这会使得模拟的结果更接近事实情况，那么，N的位置有两种选择，在线段BC的上方或在其下方。

X_N=(X1+X2)/2－J×L×sinβ+R

Y_N=(Y1+Y2)/2+J×L×cosβ+R　　(10)

其中，J=1或－1，它将确定N的位置是高于还是低于BC，L是N点偏离线段BC的距离，它由BC的长度及角度α确定，是BC的水平角;R是一个随机数，它将使得N或N'在图中所示的虚矩形框中的位置。这些处理体现了空间变化过程中的各向同性，并能够很好地展现分形体的复杂与精细结构。

3.2.3　城市边界模拟

在进行模拟之前，我们需要一些控制点，这些点大致确定了城市边界的形状，所以在矢量化城市边界的时候应尽量选取那些处于拐角的点，这有助于更多地展现曲线的细节。迭代过程由两个阈值限制，即用终止迭代过程的最大和最小长度，如果线段长度小于最少阈值则不再进行迭代运算，如果线段长度大于最大阈值，则该线段有可能是某一规则用地的边界，这种情况也不用进行迭代运算。因此，还有一点需要注意的是，在矢量化城市边界线的时候，如果没有规则边界的话，我们尽可能地用短的线段来矢量化边界，最大阈值的确定由矢量化时的线段平均长度确定，平均长度由下式获得:

d_i，i+1=［(x_i－x_i+1)²+(y_i－y_i+1)²］^1/2，i=1，…，n－1　　(11)

其中，n是所有点的数量，边界线的长度为:

平均长度:

最小阈值由地图的尺度变化来确定，其算法描述如下:

(1)输入矢量化所得的原始曲线，它由一系列的坐标点构成。

(2)计算分形维数D。

(3)计算构成曲线线段的平均长度，确定最大和最小阈值。

(4)判断每条线段是否居于最大和最小阈值之间，由公式(10)确定分形元，迭代过程将终止于最小阈值。

(5)输入模拟结果。

图6显示了城市边界的模拟结果，其中有两条线段没有参与迭代，因为它们大于阈值。

图6　城市边界模拟的部分结果

4.城市形态演变的CA模拟

4.1　模型描述

模型的设计是以栅格数据为基础，整个模型由两大部分组成:城市化分布层、综合控制因素层。它们通过统一空间分辨率的栅格结构相互联系在一起。城市化分布层是由城市规划图经矢量化后再数据栅格化获得。本模型按模型中元胞状态将城市化分布层划分为3类:非城市化土地、城市化土地，限制城市化土地(如水域、林地、森林等)。模型中元胞根据邻居构形确定自身行为的同时，其行为规则受到控制因素层的影响。

为了模拟上述城市扩展的两种形式，我们从概念模型的角度来描述模型的思路。由于只考虑城市用地和非城市用地之间的转化，不必考虑城市的内部结构，所以我们假设CA元胞取5种状态:0、1、2、3、4，0代表非城市用地状态，1代表城市用地状态，2代表水体、3代表植被绿化用地、4代表道路。邻域的形态将直接影响元胞状态的转化，从理论上讲，邻域构型可以是各种几何图形，实验中取Moore邻域构型。元胞状态转换规则是CA模型的关键，我们从两个层次来建立该转换规则。首先，从微观层次，考虑三个指标:邻域函数、限制因素和引力系数^［13］。邻域函数是用以刻画当前元胞受周围邻域元胞影响程度的指标;限制因素是指水体、植被、绿化用地等不适宜转化为城市用地类型的区域，我们在模拟城市演化的时候始终保持它们的类型。引力系数和限制因素刚好相反，反映城市设施、高速公路等对农用土地城市化的吸引力。其次从宏观层次看，考虑人口数量对城市发展规模的限制，从表象上来看，城市化就是一个农村人口向城市人口转化的过程，两者的发展在一般情况下是吻合的，文中也基于这一假设，将人口数量作为控制城市扩展规模的宏观因素。综合考虑微观个体(元胞)相互作用，区域控制和区域人口因素、环境因素以及城市扩展时间轴上的控制，可以建立更加完善的元胞转换规则，避免了标准CA模型中只考虑邻域影响的局限性。

4.2　研究区域概况

武汉市地理位置及自然条件:武汉市位于北纬29°58'～31°22'，东经113°41'～115°05'。在平面直角坐标上，武汉市东西最大横距134公里，南北最大纵距约155公里。全市低山、丘陵、垄岗平原与平坦平原的面积分别占土地总面积的5.8%、12.3%、42.6%和39.3%。

4.3　实验环境与数据准备

文中以元胞自动机模型为核心，利用DLL、OCX/ActiveX等技术，借助高级编程语言如C++开发必要的地理信息系统功能，支持元胞自动机的运行。利用Visual Basic为主要开发工具，通过调用ArcGIS的相关控件，如MapControl、SceneViewer等，读取各个栅格图层的数据。

武汉市由汉口、武昌、汉阳三镇组成，彼此之间又被长江和汉水分割成三个独立的部分，因此整个武汉市的城市空间形态的演化也分成三个部分独立进行。对武汉市城市规划图矢量化后再对其进行栅格化处理，选取合适的栅格大小作为实验的数据源。

4.4　模型运行及结果

4.4.1　运行流程

如图7所示，模型获得元胞的初始状态，即起始的城市用地形态分布栅格图后，根据邻居条件、转换规则等对元胞状态是否要转化进行判断，并根据模拟的结果决定对模型参数作出调整。

图7　模型运行流程图

4.4.2　模型的校验

模型校验有两个目的，一是确定模型参数。通过历史数据来检验模型结果，反复试验，获得模型的运行参数;二是将系统时间映射到真实时间，以供规划决策使用。目前CA模型的校验有以下几种方式:

(1)利用社会经济指标来校正模型时间。选用和城市扩展相关性较大的指标(如人口、经济等)，预测其发展变化来反推城市扩展规模。

(2)从土地可持续利用原则导出区域土地资源消费速率来校正模型参数和时间。例如，根据土地资源的优化分配，规划以后各时段内的土地消费量，就可以和元胞自动机模型的预测结果进行对比，确定模型时间和真实时间之间的对应关系。

(3)历史数据检验。如果获得两个或两个时刻以上的历史数据，以一个时刻作为模型的初始状态，其他时刻的数据和模拟结构进行比较，如果二者吻合则可以把此时的模型参数作为可选参数，进行进一步模拟。Clarke用修正的Lee2Sallee形状指数来比较二者的形状相似性，即二者的交集和并集的比值。此外也可以用空间相关系数来比较。这种校验方法适合城市扩展呈线性增长的情形。文中的实验采用这种方式来进行参数的校验，从1954年的数据出发进行模拟，再以1959年的数据进行校验，调整模型的参数。

4.4.3　模型运行结果

图8所示为模型运行最初的状态，城市的形态由工业用地、居民地、公共用地、水体、植被，道路构成，其中前三类均为城市用地，水体和植被用地在模拟过程中发生变化，城市的道路大致勾勒出了城市的轮廓，道路元胞和城市元胞对周围元胞都构成较大影响，从总体上控制着城市形态演化的格局。

模型运行前期结果如图9、图10所示，图中的白色部分均为非城市用地，城市的增长基本上沿原有的城市元胞和道路往外扩展。模型继续运行会出现城市元胞充满所有的除水体和植被以外的非城市元胞。

图8　t=0时的城市形态

图9　t=5时的城市形态

图10　t=10时的城市形态

从实验结果来看利用CA模型基本上可以反映城市形态的演变过程，模拟过程实际上是对在起始的栅格图中各城市元胞进行的扩张，道路层的确定非常重要，它在本次实验中从总体上控制着模拟结果的形态，也是影响非城市元胞向城市元胞发展的主要因素，城市的扩展基本上沿道路展开。

5.分析讨论

本文以武汉市为实验样区，提取武汉市在不同的时间段中，不同用地类型的空间分布，计算各种用地类型的分形维数，因为城市空间形态是由这些不同的用地类型构成的，如工业用地、居民地、绿化植被，所以这些用地类型在空间形态上的变化构成了整个城市空间形态的演化，本文试图通过分形维数随时间的变化来反映或揭示城市空间形态变化的规律，当然衡量城市发展的指标还有很多，如面积、人口，等等，分形维数主要反映了城市空间形态的分布特征。从实验的结果来看，分形维数的变化确实与城市各种用地类型的变化特征相符，实验的缺陷在于，实验结果只能反映分形维数随时空变化的特征，但没有对某一分形维数下城市的空间状态是否合理作出判断，虽然有学者的研究表明，城市总体形态的分形维数应接近1.7较为合理，但各个城市有其自身的发展特点，不能以偏概全。

论文利用分形维数对矢量化得到的城市边界线进行模拟，其算法的核心其实是在进行插值运算，传统的方法过多关注模拟结果的光滑性而忽略了线状地物本身所具有的复杂和精细结构这一特点，分形方法的诞生就是为了处理和解决复杂的病态的传统几何不愿意面对的一些问题，因此分形方法运用于城市形状地物模拟时能够在形态上保持一致性的同时更多地展现其细节信息，这是其他方法不能比拟的，实验结果证明了这一点。

论文在Visual Basic环境下通过调用ArcObjects组件来实现对城市空间形态的CA模拟，作者认为，CA应该是一种思想，它为解决从微观到宏观的地理学课题提供了许多可供借鉴的方法，文中构建了简单的CA模型，将城市空间形态总体上划分为城市用地和非城市用地，考虑这两者之间的转化。从实验结果看，城市的道路框架从总体上控制着整个城市的形态，模拟的结果基本上反映了城市的扩张过程。但此处不足的是:文中的CA模拟较为简单，没有制定复杂的转化规则，仅仅止步于模拟结果在形态上的相似性，在模拟的过程中应该考虑更多的城市发展的影响因素，力求寻找微观演化规则与宏观现象、规律之间的内在联系。

6.小　　结

本文基于分形理论，通过计算武汉市不同时期的分形维数来揭示城市形态随时间变化的分形特征，并对此进行分析，在此基础上，选取中点细分分形元对城市边界线进行模拟，取得了良好的效果，最后利用分形增长的CA模型对城市空间形态的演变进行了模拟，能够反映出其随时间变化的特点。

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