栅格数据模型中的空间拓扑关系

第三节　栅格数据模型中的空间拓扑关系

用矢量描述的空间目标之间的拓扑关系目前主要以普通点集拓扑学为基础进行分类，而用栅格描述的空间目标之间的拓扑关系的分类可能仅仅用离散拓扑学(Discrete topology)。这种差别所体现的两个有关基本几何属性的著名问题(Winter等，2000)如下:

●在栅格数据中，不能保证Jordan闭合曲线理论的正确性。

●在栅格数据中，区域之间的拓扑关系不同于被广泛接受的Egenhofer定义的空间拓扑关系。

一、闭合曲线的定义

Jordan曲线是存在于平面上的一条简单闭合曲线(即一个圆的拓扑图形)，可以精确地把平面分成两个区域，并且形成它们的共同边界(Winter等，2000)。在矢量模型的普通拓扑学中遵循这种边界的定义，它必须是一维的。但是，在栅格数据模型中，不能保证这种边界线的特点，图3-9是一个单连通区域的例子，这个区域被一条数字曲线所约束，而这条曲线是多连通的。但是，在特殊的排列中，一条曲线不能如Jordan曲线所要求的那样把平面分成两个部分，这就是由这种曲线定义所引起的很著名的“4-8悖论”(4连通和8连通)，在图3-10中，在一个4-连通栅格图中，背景(白色)是不连通的，即背景被分成了两个部分，这条灰色的边界线是一条简单曲线，它将前景从背景中分离出来。若在“角部”不是4连通的，则使背景分为两部分。若把4连通改为8连通，则这条8连通的边界线就不是一条简单线。由于这种原因，我们通常假设前景和背景的连通性具有不同类型。从闭合曲线理论可知:矢量模型和栅格模型描述的空间目标有不同的特性。

图3-9　一个单连通区域

图3-10　数字曲线的4-8悖论

二、栅格数据模型中的空间拓扑关系

在欧氏空间中，为了克服在栅格数据模型中定义边界的困难，可以使用如下三种不同的方法:

(1)忽略边界，只有(开)集合的区域;

(2)通过挑选特殊的(二维)栅格单元来定义一维边界，这依赖于一种邻近关系定义;

(3)定义隐含的边界，它们是两个栅格单元之间的边界，边界两侧的两个单元属于不同的区域。

若忽略任何边界的关系，只区分一个区域X的内部(X°)和外部(X^C)两个集合，两个集合A和B的4交集就变为:{(A°∩B^c)，(A°∩B°)，(A^c∩B°)，(A^c∩B^c)}，可以得到的空间拓扑关系的名称和含义为:

●相离/相接:A和B没有共同的部分;

●相交:A和B有共同的部分和不相同的部分;●相等:A的所有部分是B的部分，反之也一样;

●包含/覆盖:B的所有部分是A的一部分，并且A有额外的部分;

●被包含/被覆盖:A的所有部分是B的一部分，并且B有额外的部分。这种分类的定义也可以用于复杂的区域，即多连通区域，或者有很多组成部分的区域。很明显，这些空间拓扑关系合并了在矢量数据模型中的拓扑关系。

若用栅格单元进行边界描述，可产生二维边界，它由栅格单元链组成。在这种情况下，我们不得不在4-邻域或8-邻域之间，以及在“内域”边界或“外域”边界之间(邻接外域栅格单元的区域内的栅格单元，或邻接内域栅格单元的区域外域的栅格单元)进行选择，用于这种栅格单元链描述。利用这些内域、外域和边界的栅格单元集合的交集来确定空间拓扑关系，对于简单区域而言可能形成不同于前面描述的8种4交集合(空间拓扑关系)。例如，图3-11中，一个区域的边界和另一个区域的内域相交，但是，二者的内域不相交，这种情况在矢量数据模型中就不会出现(Winter等，2000)。

为了克服栅格数据模型的这些限制，可以用边缘和节点来完善栅格，使之成为一个规则的单元复合体。与欧氏平面中任意的单元复合体比较，这种单元复合体的惟一特殊性是它的规则结构，如图3-12所示。在拓扑学中，一个单元复合体(二维、一维和0维元素)的所有元素被称为单元，相应地可称为“二维单元”(与栅格中的单元相同)、一维边缘和0维节点，边缘和节点的并被称为栅格的骨架。用这种混合的描述方法，拓扑关系可以重新与欧氏空间中的普通拓扑学产生联系，并且能够运用4交和9交集合描述拓扑关系，与矢量数据模型的描述完全一致。

图3-11　栅格模型的相交

图3-12　单元复合体