步入超穷数王国

上面我们提到了康托尔向无限集合大胆迈进。在他的研究之前，人们只辨认出有限集与无穷集这两种类型的集合，而且也无人试图对无穷集再作什么区分，正是康托尔引起普遍的惊奇。他对无限集合进行了深入研究，得到自然数集合是可数集，而实数集是不可数集，因而发现无穷集合具有不同的等级。在得到上述的结论后，康托尔没有就此止步，他进一步思考有没有不可数集之上的等级。他首先考虑到：二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。

1874年1月，写给戴德金的信中他问道：区间和正方形这两个点的集合是否能够构成一一对应的关系？他近于肯定地认为，在二维正方形与一维线段之间不可能存在这种对应关系，因为前者似乎显然具有更多的点。虽然作出证明可能十分困难，但康托尔却认为证明也许是“多余”的。

然而，有趣的是，这一几乎多余的证明却从未能够作出。康托尔尽管尽了最大努力，但始终未能证明在区间与正方形之间不可能存在一一对应的关系。后来，1877年，他发现他原来的直觉是完全错误的。这种一一对应的关系确实存在！

事实上，他的证明是很简单易懂的。但这个结果太出乎人们的意料了。这是康托尔提出的最令人惊奇甚至在当时数学家中引起混乱的定理。从古希腊人以来，一直有这样的信念，即在一维、二维、三维几何对象（曲线、曲面和空间区域）之间有着深刻的区别，而康托尔的结论像是消除了这种差别，从而将摧毁整个几何学！甚至康托尔本人也对这一出乎自己意料的结论感到震惊。在1877年写给戴德金的信中当他报告了这一发现时，他惊呼：“我发现了它，但简直不敢相信！”

这样，在证明了实数不可数之后，康托尔又证明了：平面上的点和直线上的点可以建立一一对应的关系。于是，二维空间的点也是不可数集。不但如此，康托尔进一步发展他的结论，又成功地证明了一般的n维连续空间也可以和直线建立一一对应！因而，任意n维空间上的点都是不可数集。那么，到哪里去寻找大于不可数集的基数呢？这样的基数是否存在呢？

康托尔开始另辟新径。1891年，康托尔成功地找到了更高级超限基数的存在，并且是令人难以置信的大量存在。他的研究结果，我们今天通常称为康托尔定理。让我们来看一下他开辟的这条新径。

给定一个集合A，假设它有两个元素组成，即A＝｛a，b｝

那么我们来看一下取出它的某些元素能得到什么样的集合，这样的集合称为A的子集。

不难发现，｛a｝｛b｝包括它本身｛a，b｝都是集合A的子集。另外，人们规定空集是任何集合的子集。于是，我们找到A的子集共有4个。而这四个集合放在一起，又能组成一个集合，这个集合康托尔称为幂集。那么显然的，有两个元素的集合的幂集共有4个元素。

同样的，一个具有三个元素的集合其幂集有8个元素。一般地，一个包含n个元素的集合其幂集元素个数为2n。显然幂集的元素数目要大于原集合。但我们这只是考虑的有限集合。

当推广到无穷集合时，情况是否如此呢？或许凭直觉会认为这是理所当然的。但研究无限时直觉的局限与不可靠我们在上面已经多次领教过了。不过，幸好，这次我们的直觉与事实统一起来了。康托尔证明了对任意一个集合来说，它的幂集基数总是大于原集基数。对这一定理的证明细节，我们不再多做介绍。我们所要了解的是，在有了这一结论后，我们就可以寻找到更大的基数了。

康托尔称最小无限集可数集的基数为阿列夫零，记做χ0（χ是希伯来字母表的第一个字母）。于是，它的幂集基数可记为2χ，并且χ0＜2χ0

那么再进一步呢？

于是，这成了一个没有结尾的故事。魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集、不可数集这样个别的无穷数的怪物。通过反复应用康托尔定理，可以给出一个生成更大超限基数的永无尽头的不等式链。

也就是说，这一不等式链可以无限写下去：

因而，无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次，而且是无穷多个层次。根据无穷性有无穷种的学说，康托尔对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，康托尔把这些基数称为超限基数。与之相对应，一般的计数数即自然数被称为有限基数，这在前面我们已经提到过了。康托尔还创立了超限基数的算法。这种算法相对于“常识”，即有限数的一般算法而言，显得非常不可思议。在超限算法中，我们可发现很多奇怪的规则。例如1＋χ0＝χ0，χ0＋χ0＝χ0……还有其他奇怪的公式。

然而，康托尔的奇思怪想还没有结束。上述的研究，是建立在基数理论上。基数考虑的是集合中元素的多少，没有考虑这些元素间可能出现的次序。这种比较数集多少的方法虽然有效，但毕竟与我们的习惯有点不同。我们通常比较数目多少时是使用的计数的方式。即把不同的数按由小到大的次序排起来，齐其一端，依次配对后比较两列的长短就很容易看出哪一个数目多或少了。由此可见排有顺序的集合的重要性。这正是康托尔进一步思考的问题，即能否建立无穷的序数理论呢？

1883年，康托尔开始研究有序集，特别是其中的良序集，即每一子集都有第一个元素的有序集。为了刻画良序集的结构，他引入序数的概念。他把序数定义为良序集的序型，这可看作用来编序的自然数（第一、第二、第三……）的推广。序数可以比较大小，而且任一序数之后，甚至任一序数集之后，恰有一个在大小顺序上紧紧尾随的序数。

因此，如果用ω表示自然数集（按自然顺序）的序数，那么由ω出发，利用“延伸原则”和“穷竭原则”可以得到越来越大的序数。（下面编号格式需要调整）

一、延伸原则：由任一给定的序数出发，通过延伸而得出新的更大的序数。例如ω，ω＋1，ω＋2……

二、穷竭原则：给定任一有特定顺序，但其中无最大元素的集合，通过穷竭而得出一个新数，它大于原集合中任何一个给定数。例如，从1、2、3，……出发，通过穷竭就可得出ω；而从ω＋1，ω＋2……出发，则可得到ω＋ω，即2ω

通过这两个原则的反复应用，我们就可以得出无穷多个越来越大数序数，如果采用序数算术的记法，那么，将所有序数，从0开始由小到大排起来，就形成如下的无穷序列：

0，1，2，（这是延伸）………，ω（这是穷竭），ω＋1，ω＋2，（又是延伸）………ω＋ω

＝ω·2（这又是穷竭）ω·2＋1，……ω·3，………ω·ω

＝ω2，ω2＋1，………ω3，ω3＋1，……，ωω，ωω＋1，………

第一级序数：1、2……其中每个序数n的基数为n。用上述第一级序数组成集合，这是可数集，基数为。第二级序数：ω，ω＋1，ω＋2，………ω·2，ω·2＋1，……ω·3，………ω2，ω2＋1，………ω3，ω3＋1，……，ωω

每个序数的基数为χ0。用上述第二级序数构成集合，这是不可数集，设基数为χ1。这样的过程显然可以无限进行下去。

三、限制原则：这是基数分析的基本原则。每一个新数类的基数大于前一个数类的基数，而且是第一个这样大的。

这三个原则反复应用可得到一系列的“序数类”，它们的基数分别为χ0、χ1、χ2……

这样，康托尔就给出了序数的一种系统的表示法，相当于十进制之用于自然数。利用序数可以把良序集编号，并把数学归纳法推广到自然数以外去。良序集与序数的研究加深了对基数的理解，1904年，策梅罗证明了任意一个集合都可以良序化（良序定理），将基数等同于一个序数。这就解决了基数比较大小这一根本的问题。此外，同序数一样，任一基数之后，甚至任一基数集之后，恰好有一个在大小顺序上紧紧尾随的基数。因此可将所有超限基数按序数来编序，用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终就可建立起关于无限的所谓阿列夫谱系χ0、χ1、χ2、……

它可以无限延长下去。这样我们就从另一角度得到了无限集的又一无穷谱系！

这样，超限序数与超限基数一起刻画了无限。这些关于序数、基数的理论是康托尔于1895、1897年在以《关于超穷集合论的基础》为题的两篇文章中发表的。他以一种惊人的想象力创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景。但我们应该如何评价康托尔的一系列成果呢？

可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他推动数学进入一片未被开垦的处女地，他为数学开辟了一片崭新的天地。他关于无穷集合的新观念是打开通往一个新的天堂之路，抑或是地狱之门，就完全要看不同时期、不同数学家们的态度了。

正如前面已经提到的那样，在康托尔建立自己的理论伊始就受到了激烈的批驳。毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些深奥理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们大叫大喊地反对他的理论。著名的数学家中有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，有人称“康托尔走进了超限数的地狱”。

在他的祖国德国和其他一些地方，都有许多保守分子大叫大喊地反对他的数学无穷理论，康托尔与某些很有影响的数学家逐渐交恶。当然这些反对意见并非都是盲目的反动，因为康托尔的数学确实提出了一些令人莫名其妙的问题，即便那些善意的数学家也深感困惑。

康托尔开始就预料到自己的观点会受到当时数学权威们的反对。在发表的一篇重要论文中，他说：“我的集合论研究的描述已经达到了这样的地步，它的继续已经依赖于把实的正整数扩展到现在的范围之外，这个扩展所采取的方向，据我所知，至今还没有人注意过。我对于数的概念的这一扩展依赖到这样的程度，没有它我简直不能自如地朝着集合论前进的方向迈进那怕是一小步。我希望在这样的情形下，把一些看起来是奇怪的思想引进到我的论证中是可以理解的，或者，如有必要的话，是可以谅解的。实际上，其目的在于扩展或推广实的整数序列到无穷大以外。虽然这可能显得是大胆的，我却不仅希望而且坚信，到了适当时机，这个扩展将会被承认是十分简单、适宜而又自然的一步。但我仍是十分清楚，在采取这样一步后，我把自己放到了关于无穷大的流行的观点以及关于数的性质的公认的意见的对立面去了。”

康托尔面对重重困境，并未对自己工作的价值丧失信心。1888年，康托尔对自己大胆闯入超限王国作出了评价，他说：“我的理论坚如磐石，射向它的每一枝箭都会迅速反弹。我何以得知呢？因为我用了许多年时间，研究了它的各个方面；我还研究了针对无穷数的所有反对意见；最重要的是，因为我曾穷究它的根源，可以说，我探索了一切造物的第一推动力。”

他还写道：“我认为是唯一正确的这种观点，只有极少数人赞同。虽然我可能是历史上明确持有这种观点的第一个，但就其全部逻辑结果而言，我确信我将不是最后一人！”

的确，他不是最后一人，虽然多少代的数学家都曾探索过古老的几何、代数和数论的问题，但康托尔却开创了全新的境界，由于他既提出，又回答了前人不曾想到的问题，所以将他的理论称之为自古希腊以来第一部真正具有独创性的数学，也许是最恰当不过的了。

在完成我们叙述之前，我们还想介绍康托尔对20世纪数学发展做出的另一个重要贡献：连续统假设的提出。

我们前面介绍到，康托尔给出了两种构造越来越大的基数的方法，并由此得到了两种无限基数序列

一是：χ0＜2χ0＜22χ0＜………

二是：χ0、χ1、χ2、……

根据超限数的介绍，我们知道是χ1紧跟在可数集χ2之后的下一个超限基数。然而对2χ0而言，我们只知道它比可数集χ0大。但我们不知道，它是否是第一个比可数集大的超限基数。康托尔的连续统假设就是认为：2χ0＝χ1，即在χ0与2χ0之间不再存在其他无限基数。亦即，2χ0确实就是第一个比可数集大的超限基数。

由于康托尔在1847年证明了2χ0＝C（即不可数集），也就是说，自然数的所有子集所具有的元素数正好等于实数集的元素数，两者都是不可数集。因此，上面的说法可以换为：在可数集χ0与不可数集C之间不存在其他无限基数。

由于通常称实数集为连续统，因而这一猜想被称为连续统假设，而连续统假设的英文为continuum hypothesis，因此连续统假设常简记为CH。

连续统假设是考虑2χ0＝χ1，进而可以考虑对任意序数α，2xα＝χα＋1。这就是所谓的广义连续统假设，简记为GCH。

1878年，康托尔在自己的论文中首次提到连续统假设。1883年他再次讲到连续统的基数，并说，“我希望，不久就能够有一个严格的证明来解答”，然而直到去世，康托尔也未能解决这个问题。希尔伯特1900年发表的历史性演讲中向数学家提出的第一个任务就是证明这一猜想是正确的，或者举出反例来否定它。

之后，连续统假设与其推广形式的深入研究推动了20世纪数学的发展。1938年，哥德尔证明ZFC系统推不出连续统假设的否定式，亦即连续统假设与ZFC是相对协调的，1963年，科恩证明ZFC推不出连续统假设，亦即连续统假设与ZFC是相对独立的。这一答案多少令人吃惊。人们证明连续统假设与集合论的公理无关；我们可以把它看作是一个可以任意接受或拒绝的附加公理。综合哥德尔和科恩的结果，就是连续统假设在ZFC中是不可判定的。正如尺规不能三等分任意角一样，ZFC也不能断定连续统假设成立与否。要三等分任意角需要新工具，要断定连续统假设也同样需要新工具，也就是说，要寻求新的更强有力的并且从数学的理论与实践上来说有资格作新公理的数学命题或者采用其他有效的途径去攻克连续统问题，它现在仍然是一大难题。在一百年间，许多数学家作了不懈的努力，为了解决它也找到一些著名的方法，这些方法对解决其他数学问题起了积极的作用。