数学方程王国

第4课　数学方程王国

数学故事

方程王国改革记

清晨，数学方程王国就笼罩着紧张的气氛，国王正在听大臣汇报工作:“陛下，您快看看大街上吧，我们的许多臣民正在不断地争吵呢!”

国王来到大街上，看见了乘号(×)和未知数(x)正在吵架:“你跟我长得这么相似，许多人总把我们混淆，我要你马上离开我的视线!”一转身，又听见字母a和数字2在争论:“在表示两个数乘积的时候，我是字母，我要排在数字的前面!”

数字2很不服气，大声说:“凭什么数字不能排在字母前面，我认为数字应该排在字母前面。”

听着人们的吵闹声，大臣着急地说:“这样下去可不是办法，陛下一定要想出一个对策才行，我们王国是时候进行几项大的改革啦!”于是，国王请+、－、×、÷等大臣一起来商议对策。第二天，就出台了4项新制度，从此，数学方程王国里就有了这样的法规:

法规一:在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。例如x×y=y×x可以写成x·y=y·x或xy=yx。

法规二:当两个相同的字母或数相乘的时候，如a×a，不但可以写成a·a或aa，而且还可以写成a²的形式，读作:a的平方，表示两个a相乘。

法规三:当数与字母相乘省略乘号时，一般把数写在字母前面。例如a×4可以写成a·4或4a。

法规四:1与任何字母相乘时，1可以省略。如a×1可以写成a。

有了新制度的出台，方程王国终于平静了下来。一天，王国医院里来了几位病人，国王请来猫头鹰博士为他们看病。

病人甲:m²=m+m

猫头鹰博士说:“根据我们方程王国的法规二，m²是指两个m相乘，即m×m，而m+m=2m，这是两个不同的式子，所以m²=m×m。”

病人乙:a×4.8=a4.8

猫头鹰博士诊断说:“根据我们方程王国的法规三，当数与字母相乘省略乘号时，一般把数写在字母前面，所以a×4.8=4.8a。”

病人丙:我是方程21－x＞3

猫头鹰博士诊断说:“在我们方程王国里，所有的方程都是含有未知数的等式。因此只有把式子变为21－x=3才是方程。让我来教你两句口诀吧!”

经过猫头鹰博士的诊断，大家的小毛病都好起来了，国王非常高兴，他决定好好庆祝一番。正在这时，大臣来报说:“邻国的数学使者前来拜访!”

“快快有请!”国王高兴地说。使者来到大殿上深深地鞠了一躬，说:“尊敬的国王陛下，很高兴来到您的王国，听说这个王国的方程知识非常丰富，我带来了一道题来探讨探讨!”

“没问题，请说吧!”国王友好地说。

使者娓娓道来:“有一天，我对自己的儿子说，现在我的年龄是你的年龄的5倍;而15年后，我的年龄将会是你的年龄的2倍。请问我和我的儿子现在的年龄各是多少岁?”

国王马上问殿下的大臣:“谁愿意解答使者的问题?”大臣们都低头思考着，这时，有一位小朋友走上大殿说:“我来解答!可以这样想，先设儿子今年x岁，那么使者的年龄为5x岁，列出方程为5x+15=2×(x+15)，求出x=5，5x=25。所以，使者现在的年龄是25岁，他的儿子现在的年龄是5岁。不知道我算得对吗?”

数学使者立即竖起大拇指，连声称赞道:“太棒了，没想到你们王国的孩子这么聪明，我可要多留几天跟你们学习学习方程的知识呀!”

巧解趣题

巧算菜地面积

方程王国一年一度的“皇冠杯”智运会又开始了。经过几天的激烈争夺，最后还剩下机灵猴、皮皮熊和聪明兔三位选手了。为了选出今年的智慧冠军，评委决定进行最后一天的加试赛。

“大象伯伯家的菜地是一个长a米，宽b米的长方形，现在将长和宽都增加5米，谁知道菜地的面积增加多少平方米?”国王宣布了最后一道加试题目。

“面积增加了25平方米。”思考了一会儿以后，聪明兔赶紧抢答道，“长和宽都增加了5米，增加的正好是一个正方形。面积应该增加了5×5=25(平方米)。”

“不对。”皮皮熊说，“请看图1，这个就是原来的长方形长a米，宽b米，现在长和宽增加了5米，变成了图2。增加的面积应该是外面的图形的面积。我只要用图2中的大长方形减去原来的长方形面积就可以了。就是［(a+5)×(b+5)］－a×b就是增加的面积了”。

图1

图2

这时，机灵猴发言了:“这个式子看起来太复杂了，我们还可以将图形进行变化，请看图3。”说着又在纸上画出了一个图3。

图3

图4

“图3中增加的面积分成了2个部分，深色长方形和浅色长方形。深色长方形的长是a米，宽是增加的5米，面积是5×a=5a平方米;浅色长方形的长是(b+5)米，宽就是增加的5米，面积是(b+5)×5=5b+25平方米，合起来就是5a+5b+25平方米。还可以分成图4这样的两个长方形，深色长方形的面积是5×(a+5)=5a+25，浅色长方形的面积是b×5=5b，合起来也是5a+25+5b平方米。”机灵猴说道。

“当然还可以这样分，分成图5的样子。”机灵猴越说越来劲了，又画了一个图5。

图5

“分成3个部分，浅色长方形、斜线长方形和深色正方形……”

等机灵猴说完，观众中一片赞叹声!毫无疑问，今年方程王国的智运会冠军是机灵猴。当国王把美丽的“智慧皇冠”戴在了机灵猴的头上，大家响起了热烈的掌声祝贺他。

同学们，你们知道机灵猴说的图5中三部分的面积分别是多少平方米吗?你也来算一算吧!

智力提升

机灵猴摘取“智慧皇冠”后也不忘帮助伙伴们学习数学知识。瞧，他要带领大家一起遨游方程王国的知识宝库呢!里面有许多知识等着我们去解答。在进入知识宝库之前，让我们牢记机灵猴教给大家的秘诀吧!

列方程，解问题，先找未知数。

由问题，想条件，再把等量找。

依等量，列方程，问题解决好。

1.填一填。

(1)某工厂计划每月用煤m吨，实际用煤n吨，每月节约用煤(　)吨。

(2)一本书100页，平均每页有a行，每行有b个字，那么，这本书一共有(　)个字。

(3)用字母表示长方形的周长公式(　)。

(4)根据运算定律写出:

9m+5m=(　+　)m=(　)

a×0．8×0．125=(　)×(　×　)

cd=dc运用了(　)定律。

(5)新风小学五年级学生订阅《摇篮报》135份，比六年级少订x份。135+x表示(　)。

(6)一块长方形试验田有105000平方米，它的长是420米，它的宽是(　)米。

(7)一个等腰三角形的周长是86厘米，底是38厘米，它的腰是(　)。

(8)甲乙两数的和是171．6，乙数的小数点向右移动一位，就等于甲数。甲数是(　)，乙数是(　)。

(9)已知x=4是方程ax－18=6的解，a的值是(　)，6a=(　)。

(10)小赵买了5本笔记本，每本y元，付出了20元，应找回(　)元。

2.辨一辨。(对的画√，错的画×)

(1)含有未知数的算式叫做方程。　　　　(　)

(2)5x表示5个x相乘。　　　　(　)

(3)因为2×2=2²，所以2×a=a²。　　　　　(　)

(4)有三个连续自然数，如果中间一个是a，那么另外两个分别是a+1和a－1。　　　　　(　)

(5)方程的两边同时加上或减去一个相同的数，等式成立。　　　　(　)

3.选一选。

(1)6除x与y的和，商是多少?列式为(　)。

A.6÷x+y　　　B.6÷(x+y)　　　　C.(x+y)÷6

(2)王老师m岁，小刚(m－29)岁，再过n年后，他们相差(　)岁。

A.29　　　B.m－n　　　　C.m－28

(3)与方程3x+8=68的解相同的是(　)。

A.8+2x=68　　　　B.12x=240　　　　C.15x+x=280

(4)爸爸今年a岁，比妈妈大3岁，表示妈妈明年岁数的式子是(　)。

A.a+3　　　B.a－3　　　C.a－3+1

(5)(a+b)×c=ab+ac表示(　)。

A.乘法结合律　　　　B.乘法交换律　　　　C.乘法分配律

4.连一连。(把结果相同的两个式子连起来。)

2a　　　2.5×2.5　　　X·X　　　　6²　　　　　

X²　　　　6×6　　　　2.5²　　　a×2

5.列方程，解决问题。

(1)根据题中的条件，写出等量关系式。

(2)李大爷家有一块面积是254.4平方米的长方形玉米地，玉米地的长是24米，它的宽是多少?

(3)汪老师买了3本《环球科技》，付给售货员50元，找回24．5元。每本《环球科技》多少元?

(4)妈妈给小明一个星期的零用钱。小明每天花2.5元，4天后，还剩15元，妈妈给小明多少钱?

6.趣味生活题。

有一台天平，有10克、5克、2克砝码各一个，你能想办法一次称出13克的东西来吗?怎么称?

解题思路:在天平左边的托盘里放入10克和5克的砝码，想一想要让天平平衡，右边怎么放?

智慧阅读

数学方程名著——《四元玉鉴》

《四元玉鉴》被认为是中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。

《四元玉鉴》全书共三卷，分二十四门、二百八十八问，书中所有问题都与求解方程或求解方程组有关，其中四元的问题(需设立四个未知数)有7问，三元者13问，二元者36问，一元者232问。

《四元玉鉴》创造了四元消法，解决多元高次方程组问题是该书的最大贡献。在我国古代，解方程是设“天元为某某”，某某就是(x)。朱世杰不仅继承沿用了天元术，方程组解法由二元、三元推广至四元。也就是说未知数不止一个时，除设未知数天元(x)外，还设地元(y)、人元(z)及物元(u)，再列出二元、三元甚至四元的高次联立方程组，然后求解。在欧洲，解联立一次方程始于16世纪，关于多元高次联立方程的研究则是18、19世纪的事了，朱世杰的“天元术”比欧洲早了400多年。

亲爱的同学们，让我们一起来分享古代数学著作中的列方程解决问题吧!

九百九十九文钱，

及时梨果买一千，

一十一文梨九个，

七枚果子四文钱。

问:梨果多少价几何?

此题的题意是:用999文钱买的梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱?

解题思路:设买梨x个，买果1000－x个。

列方程得:

11x÷9+4×(1000－x)÷7=999

解得:x=657

买梨657个，买果1000－657=343个。

买梨花了657×11÷9=803文，买果花了343×4÷7=196文。

开心数学园

数学家的回答

皇帝和大臣一起听数学家讲授题目。数学家在台上讲得津津有味，皇帝和大臣坐在底下却越听越不耐烦。他们终于忍不住了，问数学家:“学习数学有没有简单的途径?”数学家看了他们一眼，转身在黑板上写下两个数:“1001”和“1111”，然后说:“在民间有两种道路——供平民走的小路和供皇帝、贵族走的大路。但是，在数学里，大家只能走同一条路。黑板上的两个数，就是怎么走这条路的方法。”皇帝和大臣看着“1001”和“1111”这两个数，如坠雾中。亲爱的同学们，这两个数实际上是两个四字成语，你能把它们说出来吗?