定积分的元素法

6　定积分的应用

在第5章中,我们通过曲边梯形面积、变力沿直线做功两个问题抽象出了定积分的概念,并学习了定积分的性质及其计算.实际中定积分在几何、物理及其他工程技术等领域有着广泛的应用.本章在前面所学内容的基础上,着重讨论定积分在几何和物理两方面的应用.首先介绍元素法,然后利用元素法来解决几类常见的的几何与物理问题.

6.1　定积分的元素法

为总结出定积分应用的一般思想和方法,我们先回顾一下用定积分求曲边梯形面积问题的方法和步骤.

设f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)≥0,求以曲线y=f(x)为曲边的[a,b]上的曲边梯形的面积A.把这个面积A表示为定积分f(x)dx的思路是“分割、取近似、求和、取极限”,具体步骤是:

(1) 分割:将[a,b]分成n个小区间,相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形,其面积记作ΔAi(i=1,2,…,n).

(2) 取近似:计算每个小区间上面积ΔAi的近似值

ΔAi≈f(ξi)Δxi　(xi-1≤ξi≤xn)

(3) 求和:得面积A的近似值

(4) 取极限:得面积A的精确值

上述过程中我们注意到所求面积A有如下特征:

(1) 所求量(即面积A)等于所有部分量(ΔAi)之和,即ΔAi,这一性质称为所求量对于区间[a,b]具有可加性.显然曲边梯形的面积A对于区间[a,b]具有可加性.

(2) 对应部分区间[xi-1,xi]上的面积ΔAi可以用f(ξi)Δxi近似代替,即

ΔAi≈f(ξi)Δxi

且其误差仅是一个比Δxi高阶的无穷小量,这样和式f(ξi)Δxi的极限才是A的精确值.

撇开A的几何背景,可以看到,当所求量对于区间[a,b]具有可加性时,该所求量U就能用定积分计算,而利用定积分计算的关键是求出部分量ΔUi对应的近似式f(ξi)Δxi.

从而,用定积分来表示量U的一般过程可以概括为:

(1) 选取积分变量如x,并确定它的变化区间[a,b].

(2) 求微元.在区间[a,b]上任取一小区间[x,x+dx],将ΔU在[x,x+dx]上的微元记为dU,取ξi=x,则dU=f(x)dx.

(3) 列积分.得所求量x.

利用上述过程来解决问题的方法称为元素法(或微元法).用元素法计算量U时,关键在于确定积分区间以及所求量U的元素dU.

6.2　定积分在几何上的应用

6.2.1　平面图形的面积

1) 直角坐标的情形

由定积分的几何意义可知,连续曲线y=f(x)(f(x)>0)与直线x=a,x=b(a<b)以及x轴所围平面图形的面积为

f(x)dx

下面用元素法将此结论推广到更为一般的情形.求由两条连续曲线y=f(x)，y=g(x)(f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a<b)所围平面图形(图6-2)的面积A.

图6-1

图6-2

利用元素法求解的步骤如下:

(1) 取x为积分变量,其变化区间为[a,b].

(2) 在[a,b]上任取一小区间[x,x+dx],此时面积元素dA=[f(x)-g(x)]dx.

(3) 写出定积分x.

那么这个平面图形的面积A为

(6-1)

图6-3

同理,如果平面图形是由连续曲线x=φ(y),x=ψ(y)(φ(y)≥ψ(y))和直线y=c,y=d(c<d)围成(图6-3),那么这个平面图形的面积A为

(6-2)

一般地,由连续曲线y=f(x)，y=g(x)与直线x=a,x=b(a<b)所围平面图形的面积为

由连续曲线x=φ(y),x=ψ(y)(φ(y)≥ψ(y))和直线y=c,y=d(c<d)所围平面图形的面积A为

例1　求由两条抛物线y=x2,y2=x围成的图形的面积.

图6-4

解　所给两条抛物线围成的图形如图6-4所示,由解得两抛物线的交点为(0,0),(1,1).本题的图形既可用x也可用y做积分变量.取x为积分变量,则图形在直线x=0与x=1之间,应用公式(6-1)得

例2　求由直线所围成的图形的面积.

图6-5

解　若选x为积分变量,则需计算三块图形的面积之和(见图6-5),因此确定选y为积分变量.

以y为积分变量,积分区间为[1,2],由公式(6-2)得到所求图形的面积为

由上例可知,要注意积分变量的恰当选择.一般积分变量的选择要尽量使图形不分块,或分块较少.

图6-6

例3　求由曲线y=|lnx|、直线x=0与x=e及x轴所围成的图形的面积(见图6-6).

解

lnxdx

而

∫lnxdx=xlnx-x+C

所以

(注意:上式第二项积分是x=0为无穷间断点的反常积分)

(xlnx-x)=-1

所以

lnxdx=2

图6-7

例4　求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱与x轴所围成平面图形的面积(见图6-7).

解　摆线的一拱可取t∈[0,2π],所求面积为

a(1-cost)[a(t-sint)]′dt

(1-cost)2dt=3πa2

注　当曲线的参数方程形式较为简单时,可利用定积分的换元法求出定积分,其中x,y换成参数形式,积分变量改为参数,换元的同时积分限转化为新的参数的积分限.

2) 极坐标的情形

对于某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便,下面用元素法讨论极坐标下的平面图形面积.

图6-8

极坐标下由曲线ρ=ρ(θ)及射线θ=α,θ=β围成的图形称为曲边扇形(图6-8),这里ρ(θ)在[α,β]上连续,且ρ(θ)≥0.下面利用元素法推导其面积公式.

(1) 取θ为积分变量,θ的变化范围为[α,β].

(2) 求面积微元:任取区间[θ,θ+dθ],用ρ(θ)作为小曲边扇形的半径,则中心角为dθ的曲边扇形面积的微元为

(3) 写出积分:所求曲边扇形面积为

(6-3)

在利用极坐标计算图形的面积时,所求面积的图形往往未必是图6-8那样的标准情形,常见的图形一般还有下列几种情形:

(1) 由曲线ρ=ρ1(θ),ρ=ρ2(θ)及射线θ=α,θ=β围成的图形(图6-9),这里ρ1(θ)<ρ2(θ) 且都在[α,β]上连续，则其面积为

(2) 由封闭曲线ρ=ρ(θ)围成的图形(图6-10),这里ρ(θ)在[α,β]上连续，则其面积为

图6-9

图6-10

图6-11

(3) 由封闭曲线ρ=ρ1(θ),ρ=ρ2(θ)围成的图形(图6-11),这里ρ1(θ)<ρ2(θ)且在[α,β]上连续,则其面积为

例5　求三叶玫瑰线ρ=acos3θ(a>0)所围成图形的面积.

图6-12

解　三叶玫瑰线围成的3片叶子的面积全等,如图6-12所示，因此只需计算第一象限阴影部分面积的6倍.在第一象限中,角θ的变化范围为,由公式(6-3)可知,三叶玫瑰线围成区域的面积为

cos23θd(3θ)

cos2φdφ

图6-13

例6　求由心形线ρ=1+cosθ与圆ρ=3cosθ所围成的标有阴影线部分的图形面积(图6-13).

解　由,得两条曲线的交点为,由图形的对称性,得所求面积

6.2.2　体积

1) 旋转体的体积

由平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而成的立体称为旋转体,这条定直线称为旋转体的轴.

图6-14

设由连续曲线y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成一旋转体,下面计算它的体积Vx(图6-14).

(1) 取x为积分变量,x的变化范围为[a,b].

(2) 求体积微元:任取区间[x,x+dx],用|f(x)|作为小柱体底面半径,则体积微元为

dVx=π|f(x)|2dx=π[f(x)]2dx

(3) 旋转体的体积

(6-4)

图6-15

同理,可求由连续曲线x=φ(y)与直线y=c,y=d及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积Vy为(图6-15)

(6-5)

例7　求由椭圆=1围成的图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积.

图6-16

解　旋转椭球体如图6-16所示,可看作由上半椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的.由公式(6-4)可得

当a=b时得到半径为a的球体的体积πa3.

例8　求两曲线x2=2y与2x+2y-3=0所围平面图形绕x轴旋转所得立体的体积.

解　取积分变量为x.由得两曲线的交点.

图6-17

所求体积是图6-17中的(直边)梯形ABCD和曲边梯形AOBCOD分别绕x轴旋转一周所得两立体的体积之差.所以

此题能否用y作积分变量,读者可自行思考.

例9　把星形线所围成的图形绕y轴旋转,计算所得旋转体的体积.

解　星形线的参数方程为:x=acos3t,y=asin3t,由图形的对称性知,所求体积为

a2cos6t·3asin2tcostdt

πa3

2) 平行截面面积已知的立体的体积

图6-18

设有一立体(如图6-18所示),在分别过点x=a，x=b且垂直于x轴的两平面之间,它被垂直于x轴的平面所截的截面面积为已知的连续函数A(x),求立体体积.

取x为积分变量,积分区间为[a,b],对[a,b]的任意区间[x,x+dx],相应薄片的体积近似于底面积为A(x)、高为dx的柱体体积,即体积元素

dV=A(x)dx

从而,所求立体的体积

(6-6)

例10　求由椭圆抛物面与平面z=c(c>0)所围成的立体的体积.

解　用z=z0去截立体得

　或　

由椭圆面积公式知,截面面积为πabz0,即A(z)=πabz,由公式(6-6)可知

abc2

图6-19

例11　计算底面是半径为R的圆,垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积(如图6-19所示).

解　过x轴上点x而垂直于x轴的截面是正三角形,其边长为,高为，故截面面积为

由对称性可知,所求体积为

(R2-x2)dx

此题也可以用过y轴上的点y作垂直于y轴的平面截立体所得的截面来计算,读者不妨一试.

6.2.3　平面曲线的弧长

平面曲线的长度称为弧长.由于曲线的弧长具有可加性,下面用元素法来讨论平面曲线弧长的计算公式.

设曲线弧由直角坐标方程y=f(x)(a≤x≤b)给出,其中f(x)在[a,b]上具有一阶连续导数,求曲线L的弧长s.

图6-20

如右图6-20所示,取x为积分变量,则积分区间为[a,b],任取区间[x,x+dx]⊂[a,b],由弧微分公式可知弧长元素为

dx

故曲线弧长为

dx

若平面曲线L由参数方程(α≤t≤β)给出,x=φ(x)，y=ψ(t)在[α,β]上具有连续导数.此时弧微分为

dt

从而所求弧长为

dt

若平面曲线L由极坐标方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)给出,ρ(θ)在[α,β]上具有连续导数.则对应的弧微分为

从而所求弧长为

例12　计算曲线上相应于x从a到b的一段弧的长度.

解,从而弧长元素

dx

因此所求弧长为

例13　计算摆线x=a(θ-sinθ)，y=a(1-cosθ)的一拱(0≤θ≤2π)的长度.

解　弧长元素为

由此,所求弧长为

例14　设曲线L的方程为,求曲线L的长度.

解　弧长元素为

du=du

由此,所求弧长为

1du=2

图6-21

例15　求阿基米德螺线ρ=aθ(a>0)相应于θ从0到2π一段的弧长(图6-21).

解　弧长元素为

于是,所求弧长为

习题6.2

1.求由下列各曲线所围成的图形的面积:

(1) 曲线y=ex,y=e-x与直线x=1.

(2) 曲线y=x2与直线y=x及y=2x.

(3) 曲线y=x3、直线x=1,x=2与x轴.

(4) 曲线y=lnx、y轴与直线y=lna,y=lnb(b>a>0).

2.求曲线y=x3-3x+3在x轴上介于两极值点之间的曲边梯形的面积.

3.求抛物线y2=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积.

4.求由星形线x=acos3t,y=asin3t(0≤t≤2π)所围成的图形的面积(a>0).

5.求下列曲线所围成的图形的面积:

(1) 双纽线ρ2=a2cos2θ.

(2) 心形线ρ=a(1+cosθ)(a>0).

6.求由曲线r=acosθ所围成的图形的面积.

7.求曲线(x2+y2)2=a2(x2-y2)(双纽线)与圆周所围成图形的公共部分的面积.

8.求圆ρ=3cosθ与心形线ρ=1+cosθ所围图形的公共部分的面积.

9.求下列已知曲线所围成的图形按指定的轴旋转所成的旋转体的体积:

与x轴、直线x=1所围图形,绕x轴及y轴旋转.

(2) x2+(y-5)2=16,绕x轴旋转.

10.把抛物线y2=4x及直线x=1所围成的图形绕x轴旋转,计算所得旋转体的体积.

11.求由曲线y=x3及直线x=2,y=0所围成的平面图形分别绕x轴及y轴旋转所得旋转体的体积.

12.求x2+y2≤a2绕x=-b(b>a>0)旋转而成的旋转体的体积.

13.求摆线与y=0所围图形绕x轴旋转所得旋转体的体积.

14.一立体以长半轴a=10,短半轴b=5的椭圆为底,而垂直于长轴的截面都是等边三角形,求此立体的体积.

15.求下列曲线的弧长：

π.

.

16.计算星形线x=acos3t,y=asin3t的全长.

17.求对数螺线ρ=eaθ相应于自θ=0至θ=φ的一段弧长.

18.求心形线ρ=a(1+cosθ)(a>0)的全长.

19.在摆线(a>0)上,求分摆线第一拱成1∶3的点的坐标.

图6-22

20. (如图6-22所示)证明将平面图形0<a≤x≤b,0≤y≤f(x)绕y轴旋转一周所得到旋转体的体积为

xf(x)dx

21.利用上题结论,计算摆线(a>0)的一拱与x轴所围成的图形分别绕y轴与y=2a旋转所得的旋转体的体积.

6.3　定积分在物理上的应用

定积分的元素法不仅用于解决几何问题,在上一章的引例中我们看到求变力沿直线所做的功实质上也是定积分计算.本节我们将进一步利用定积分的元素法解决物理方面的一些问题.

6.3.1　变力沿直线做功

设物体在连续的变力F(x)作用下沿x轴由x=a移动到x=b时,变力F(x)在[a,b]上所做的功为

(6-7)

例1　设有一弹簧,假定被拉长0.5 cm时需用力1 N(牛顿),现弹簧在外力的作用下被拉长3 cm,求外力所做的功.

图6-23

解　(如图6-23所示)根据胡克定理,在一定的弹性范围内,将弹簧拉伸(或压缩)所需的力F与伸长量(压缩量)x成正比,即

F=kx　(k>0为弹性系数)

因为x=0.005 m时,

F=1 N

代入上式得

k=200 N/m

即有

F=200x

取x为积分变量,积分区间为[0,0.03],功元素为dW=F(x)dx=200xdx.

于是弹簧被拉长了3 cm时,由公式(6-7)得外力所做的功为

例2　质量为m的火箭由地面垂直向上发射.试求火箭从地面升空到高为h时克服地球引力所做的功(设地球半径为R，质量为M).

图6-24

解　(如图6-24所示)建立坐标系,火箭由地面垂直向上发射时,火箭离地面的距离x是变化的.以x为积分变量,其变化区间为[R,R+h],在[R,R+h]上取代表区间[x,x+dx],当火箭从x飞到x+dx时克服地球引力所做的功元素为

dx

所以火箭从地面上升到高为h时克服地球引力所做的功为

又因为r=R时地球对火箭的引力为mg,于是由

=mg

得

故

从上式不难得到,当火箭脱离地球引力即h→∞时克服地球引力所做功的W∞=mgR.

例3　一个半径为4 m,高为8 m的倒圆锥形水池,里面有6 m深的水,要把池内的水全部抽完,需要做多少功?

图6-25

解　如图6-25所示建立坐标系.取x为积分变量,x∈[2,8].

考察区间[x,x+dx]上的一薄层水,将这薄层水“提到”池口的距离为x,将这层水抽出,克服重力所做的功为

2dx

于是

6.3.2　侧压力

由物理学知道,如果有一面积为A的薄板水平地放置在液体中深为h的地方,那么薄板一侧所受的压力为P=pA,其中p=ρgh是液体中深为h处的压强(ρ是液体的密度).

如果此薄板是垂直地放置在液体中,由于不同深度的点处压强不同,求薄板一侧所受液体的压力则要用定积分来解决,下面结合例题说明计算方法.

例4　一个底为b,高是h的对称抛物线弓形闸门,其底平行于水面,距水平面为h(即顶和水平面齐),闸门垂直放在水中,求闸门所受的压力.

图6-26

解　建立直角坐标系(如图6-26所示),取x为积分变量,其变化区间为[0,h].设抛物线的方程为:y2=2px.

因为它通过点,代入y2=2px求得.

所以抛物线方程为:x.

考虑相应于区间[x,x+dx]的小窄条,它所受的压力近似值,即压力元素为

dp=γ·x·|2y|dx

因此闸门所受的压力

γbh2

6.3.3　引力

例5　设有一长为l,质量为M的均匀细杆,另有一质量为m的质点与杆在一条直线上,它到杆的近端距离为a,计算细杆对质点的引力.

图6-27

解　取坐标系如图6-27所示,以x为积分变量,它的变化区间为[0,l],对杆上取任意区间[x,x+dx].此段杆长dx,质量为dx,由于dx很小,该质量可以看作在x处的.它与质点间的距离为x+a,根据万有引力定律,这一小段细杆对质点的引力元素

dx

故细杆对质点的引力

应当指出,当质点与细杆不在一条直线上时,由于细杆每一小段对质点的引力的方向不同,此时引力不可以直接相加,必须把它们分解为水平方向和垂直方向的分力后,分别按水平方向和垂直方向相加.

习题6.3

1.一弹簧原长为1 m,把它压缩1 cm所用功为0.05 N,求把它从80 cm压缩到60 cm所做的功.

2.设一锥形贮水池,深15 m,口径20 m,盛满水.试问:要把贮水池内的水全部吸出需做多少功?

3.计算上底为6.4 m,下底为4.2 m,高为2 m的等腰梯形壁,当上底与水面相平时,壁所受的侧压力.

4.一物体按规律x=ct3作直线运动,媒质的阻力与速度平方成正比,计算物体由x=0移动到x=a时克服媒质阻力所做的功.

5.设有一长度为l，线密度为ρ的均匀细直棒,在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M,试求细直棒对质点的引力.

6.半径为R的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度与水相同,现将球从水中取出,需做多少功?

总复习题6

1.填空题.

与直线y=x及x=2所围成的图形的面积为________.

(2) 曲线y=x2与y=2x-x2所围成的图形的面积为________.

(3) 曲线y=x2与直线y=x所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________.

(4) 曲线的弧长为________.

2.在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作切线,使它与曲线及x轴所围图形的面积为.试求:

图6-28

(1) 切点A的坐标.

(2) 求上述平面所围图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.

3.设y=x2定义在[0,1]上,t为(0,1)内的一点,问当t为何值时图6-28中两阴影部分的面积A1与A2之和具有最小值？

4.求由曲线ρ2=2cos2θ所围成的图形在ρ=1内的面积.

5.求对数螺线ρ=aeθ(-π≤θ≤π)及射线θ=π所围成的图形的面积.

6.求由曲线y=sinx与它在处的切线以及直线x=π所围成的图形的面积和它绕x轴旋转而成的旋转体的体积.

7.计算圆盘(x-2)2+y2≤1绕y轴旋转而成的旋转体的体积.

8.求由曲线y2=x和y=x2所围区域绕x=-2旋转所得旋转体的体积.

9.设抛物线y=ax2+bx+c通过原点(0,0),且当x∈[0,1]时,y≥0,试确定a,b,c的值,使得抛物线y=ax2+bx+c与直线x=1,y=0所围图形的面积为,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小.

10.设有一截锥体,其高为h,上、下底均为椭圆,椭圆的轴长分别为2a,2b和2A,2B,求这截锥体的体积.

11.求半立方抛物线(x-1)3被抛物线截得的一段弧的长度.

12.求曲线的弧长.

13.水坝中有一直立的矩形闸门，宽20 m,高16 m,闸门的上边平行于水面.试求闸门的上边与水面相齐时闸门所受的侧压力.

图6-29

14.如图6-29所示，为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口.已知井深30 m,抓斗自重400 N,缆绳每米重50 N,抓斗抓起的污泥重2 000 N,提升速度为3 m/s,在提升过程中,污泥以20 N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需做多少焦耳的功?

(说明:① N×1 m=1 J；m,N,s,J分别表示米、牛顿、秒、焦耳.② 抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)