换元法和分部积分法

利用不定积分性质和基本积分表我们可以求出一些简单的不定积分，但这还是很不够的，还须学会更多的计算原函数的方法和技巧，下面我们介绍换元法和分部积分法。

换元法

前面我们说积分运算和微分运算是逆运算，那么在计算不定积分中，和换元法相联系的是复合函数的求导法则，请先看以下例子。

例5.2.1　求

解　由复合函数求导公式不难看出

所以

事实上，例5.2.1中，我们是把被积函数作变形

sin²xcosxdx＝（sin²x）（sinx）′dx＝（sin²x）d（sinx）

若令u＝sinx，则上式即为sin²xcosxdx＝u²du，由此可得

例5.2.2　求

解　因为若令u＝x²，则有

例5.2.3　求∫（ax＋b）²⁰dx，a≠0．

解　把（ax＋b）²⁰展开再求各项的不定积分，表达式会很繁琐，我们同样可利用复合函数的求导（求微分）公式，有

令u＝ax＋b，再用基本积分公式得

从以上例子中可以看出，如果被积函数是两个函数的乘积：一个是某可导函数φ与函数f的复合函数，另一个恰是φ的导函数φ′，则有

其中u＝φ（x）．如果f的原函数求出，则不定积分也就求出了．上述的这个过程事实上就是一个变量替换的过程，即将积分变量x，通过变量替换u＝φ（x）变成了积分变量u，求出后再回代到积分变量x，这样的不定积分方法称为换元法，或变量替换法。这个方法的关键在于能否找到合适的变量u＝φ（x）作为积分变量，也就是能否找到合适的变量替换的可导函数φ．至于怎么找这个函数φ，就要具体情况具体分析了，很大程度上也取决于你对复合函数求导数（微分）的了解程度，下面我们看几个常见的变量替换的情形。

例5.2.4　求不定积分：

解

（1）

（2）设t∈（0,＋∞），有x＝t²＋1，dx＝2tdt，代入原不定积分得

（3）由于被积函数中的根号给计算带来麻烦，为了去掉根号，作变换x＝asint，dx＝acostdt，代入原式，得

图5.1

这类三角变换在代回原变量时，可根据变换式x＝asint画出直角三角形示意图（如图5.1），从图中可直接看出所需的角t的三角函数值，如等。

（4）令则dx＝asec²tdt，于是

图5.2

因所以上述不定积分也可写为

这个不定积分也可用下述方法求得

因为所以有

这两个不定积分可作为公式使用。

（6）当x＞a时，令x＝asect，则于是

由（5）可得

当x＜－a时，令t＝－x＞a，则dx＝－dt，于是

因此，总有

从以上例子可以看出，有的不定积分形式比较简单，很容易看出用什么变量替换，并可以通过凑成某个函数的微分的形式得到结果，这种也称之为凑微分法。而有些不定积分却很难直接凑成一个函数的微分形式，就需要通过适当的变量替换来“化简”了。所以用换元法求不定积分，一是要对复合函数的微分形式比较熟悉，二是要通过练习积累较多的经验，熟能生巧。

常用的凑微分公式有：

例5.2.5　求下列不定积分：

解

（4）因为b（acosx＋bsinx）－a（acosx＋bsinx）′＝（b²＋a²）sinx，于是有

（5）如果将被积函数中因式（3x－5）¹⁰⁰用二项式展开，计算会很麻烦，现令t＝3x－5，即代入原式有

（6）作变量替换代入有

例5.2.6　求不定积分：

解　（1）因为，所以

作变量替换代入有

（2）这里也可以像（1）那样作变量替换，但因为分母多了一个因子x，从而使得变量替换后仍不能方便地计算出结果，现另作变换代入原式得

一个不定积分有时可以通过不同的变量替换来计算，如何选择较好的变量替换使计算简单方便，没有统一的规律可循，需具体情况具体分析。从以上例题中，读者可以了解到一些常见类型的被积函数及其所采用的变量替换，希望能通过练习，举一反三。

分部积分法

有些不定积分，用变量替换法进行计算会比较困难，但用以下介绍的分部积分法可以非常方便地计算出来。

设u，v是两个可导函数，由求导法则知

（uv）′＝u′v＋uv′

对等式两边求不定积分有

等式左边没有加上任意常数C，是因为右边的不定积分中仍包含有任意常数。移项得

上式称为分部积分公式，简记为

可以看出，通过分部积分，将被积函数为uv′的不定积分转化为被积函数为uv′的不定积分，因此的计算遇到困难时，可转化成来计算，就有可能较为方便地计算出来。用分部积分法时，关键是把被积函数分解出u与v′两部分，且要容易计算。

例5.2.7　求

解　这里被积函数是x与e^x的乘积，但是把其中哪一个作为分部积分公式中的u，哪一个看成是v′是有讲究的。目的是要使u′v作为被积函数的不定积分容易计算。

令u＝x，v′＝e^x，可取v＝e^x，由分部积分公式，有

例5.2.7中如果令u＝e^x，v′＝x，取则有转化成了比原来不定积分更复杂的不定积分。由此可见，如何把被积函数分成合适的两部分是分部积分的关键，这需从大量的练习中去细心体会。

例5.2.8　求

解　此不定积分可通过连续两次分部积分计算得结果。

例5.2.9　求

解　令u＝lnx，v′＝1，即可取v＝x．于是由分部积分公式，得

例5.2.10　求：

解　这两个不定积分在用分部积分法计算时，会出现与原不定积分相同的式子，这时可通过移项得到所求的结果。

移项得

移项得

在有些情况下，被积函数含有一个自然数指标n，这时往往可通过分部积分法得到一个递推公式，从而得到所求的不定积分。

例5.2.11　求：

解　（1）

移项得以下递推公式

因此，可反复使用此公式，最后将所求不定积分化为计算（当n为偶数时）。

（2）同理可得递推公式

例如当n＝3时：

又如当n＝4时：

（3）由分部积分公式有

解得可写成递推公式

重复使用这个递推公式，可把n不断降低，最后转化成不定积分

的计算，从而得到所需结果。

例如当n＝3时：