定积分的换元积分法

5　定积分

定积分问题作为积分学的一个基本问题起源于求平面图形的面积,它利用某种和式的极限解决了一类量的求和问题.定积分与不定积分的概念虽然不同,却有着紧密的联系.本章先从几何与力学问题出发引入定积分的概念,并在此基础上讨论定积分的性质及其计算,作为定积分的补充内容,最后再介绍反常积分的概念及其计算.

5.1　定积分的概念与性质

5.1.1　引例

1) 曲边梯形的面积

设y=f(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的图形(图5-1)称为曲边梯形,曲线y=f(x)称为曲边.下面讨论曲边梯形面积的求法.

图5-1

我们知道,矩形面积公式为:矩形面积=高×底,而曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是变化的,所以不能直接用矩形面积公式求解.但是曲边梯形的高f(x)在区间[a,b]上是连续变化的,即区间很小时,高f(x)的变化也很小.因此,如果把区间[a,b]分成若干小区间,在每个小区间上用某一点处的高来近似代替该区间上的小曲边梯形的变高，那么每个小曲边梯形就可近似看成小矩形,所有小矩形面积之和就可作为曲边梯形面积的近似值.由于小区间长度越小,面积的近似值越准确,故而借助于极限可求出曲边梯形面积的准确值.其具体做法如下.

(1) 分割：在区间[a,b]内任意插入n-1个分点

a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b

(2) 取近似：在每个小区间[xi-1,xi]上任意取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作以f(ξi)为高,底边为[xi-1,xi]的小矩形,用它作为同底的小曲边梯形面积的近似值,即

ΔAi≈f(ξi)Δxi　(i=1,2,…,n)

(3) 求和：将n个小矩形面积加起来,得到曲边梯形面积的近似值,即

(5-1)

2) 变力所做的功

图5-2

取运动直线为x轴(图5-2),已知变力F(x)的大小是连续变化的,力的方向始终与x轴正向一致.计算物体在变力F(x)的作用下沿x轴由x=a移动到x=b时变力F(x)所做的功.

我们知道,对于恒力做功,功W有计算公式:

W=F·s

但如果物体在运动中受到的力是变化的,则上述公式已不适用.又F(x)在x∈[a,b]上的变化是连续的,即很短的一段位移内,F变化很小,近似于恒力.下面采用类似于上例中的方法来处理.

(1) 分割：在区间[a,b]内插入n-1个分点

a=s0<s1<s2<…<sn-1<sn=b

将区间[a,b]分成n个小位移区间[si-1,si](i=1,2,…,n),记Δsi=si-si-1为第i(i=1,2,…,n)个小区间的长度.这时位移s相应地被分为n个小位移Δsi(i=1,2,…,n).

(2) 取近似：在每个小位移区间[si-1,si]上任取一点ξi,用ξi处的力F(ξi)近似代替在[si-1,si]上各点的力,于是F(x)在这段位移内所做的功

ΔWi≈F(ξi)Δsi　(i=1,2,…,n)

(3) 求和：将这些近似值累加起来,就得到总的功W的近似值，即

(4) 取极限：设λ=max{Δs1,Δs2,…,Δsn}.令λ→0,得到

(5-2)

以上两例虽然研究对象不同,但最终(5-1)和(5-2)两式都归结为一个特定形式的和式极限.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题,都可以通过“分割、取近似、求和与取极限”的方法来解决,将这一方法加以概括抽象,就形成了定积分的概念.

5.1.2　定积分的概念

定义1　设函数f(x)在闭区间[a,b]上有界,在(a,b)内任意插入n-1个分点

a=x0<x1<x2<…<xn=b

关于定积分的概念有几点补充注释.

注2　定义1中要求a<b,实际应用时,允许b≤a,并规定

因此有

5.1.3　定积分的几何意义

图5-3

由几何意义易知,在[a,b]上,若f(x)=1,则

函数f(x)在[a,b]上满足什么条件一定可积呢?对于这个问题我们不作深入讨论,仅给出以下两个充分条件.

定理1　若f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.

定理2　若f(x)在区间[a,b]上有界,且仅有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.

(3) 求和，得

(4) 取极限：当λ→0,即n→∞时,由定积分的定义得

例2　利用定积分的几何意义计算下面的积分：

从上面的例子不难看出,定积分的计算如果仅仅依赖定义和几何意义,那将受到很大的局限,只有一些特殊的定积分能较快地计算出来.因此有必要进一步讨论定积分的计算方法,为此下面我们首先给出定积分的基本性质.

5.1.4　定积分的性质

证　由定积分的定义可得:

性质1对有限多个函数的代数和的积分也成立,类似证明即可.

性质4(对区间的可加性)　对于任意三个数a,b,c,恒有

证　先证a<c<b的情形.因为函数f(x)在[a,b]上可积,所以无论对[a,b]怎样划分,和式的极限总是不变的.因此在划分区间时,可以使c是其中一个分点,那么在[a,b]上的积分和等于在[a,c]上的积分和加上在[c,b]上的积分和,即

令λ→0,对上式两端取极限得

当c<a<b时,由上面所证可知

所以

同理可证当a<b<c时,结论也成立.

综上结论成立.

性质4可以推广到一般情形.如对于任意四个数a,b,c,d,恒有

证　因为f(x)≥0,所以f(ξi)≥0(i=1,2,…,n).

推论<b).

注　推论1与推论2的证明由性质5易得，请读者自行完成.

性质6(估值定理)　设M,m是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,则

证　因为m≤f(x)≤M,由性质5的推论1,得

所以

性质7(积分中值定理)　设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得

成立.

证　因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最小值m和最大值M,由性质6得

即

图5-4

积分中值定理有以下几何解释:设f(x)为闭区间[a,b]上的连续函数,则以区间[a,b]为底边、曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积等于相同底边、高为f(ξ)的一个矩形的面积(图5-4).

定积分的性质对于定积分的计算及进一步研究定积分的理论都有重要作用.

例3　比较下列各对积分值的大小:

解　(1) 因为x∈[0,1]时,ex≥x2,所以由性质5的推论1得

因此

分析　由条件和结论容易想到应用罗尔定理,只需再找出条件f(ξ)=f(0)即可.

于是由罗尔定理可得,至少存在一点c∈(0,ξ)⊂(0,1),使f′(c)=0.

例5　求从0到T这段时间内自由落体运动的平均速度.

解　因为自由落体运动的速度v=gt,所以

利用定积分定义,反过来可以求某些特殊数列的极限.

解　由于

习题5.1

1.利用定积分的几何意义,计算下列积分:

2.已知某时刻t导线的电流强度i(t)=sin(ωt),试用定积分表示在时间间隔[T1,T2]内流过导线横截面的电量q(t).

3.试用定积分表示由曲线y=x2与y=2-x2围成的平面图形的面积.

4.比较下列每组积分值的大小:

5.估计下列定积分的值:

5.2　微积分基本定理

许多几何、物理问题的解决都归结到求某定积分的值.由上一节例1可知,即便被积函数很简单,若直接来计算定积分也不是一件简单的事.因此有必要对定积分的计算问题作进一步研究.

我们知道,对于变速直线运动的路程问题可以用两种方法解决.第一种方法设已知物体速度为v(t),那么该物体在[T1,T2]内通过的路程由定积分定义可知

第二种方法设已知物体运动规律s=s(t),那么该物体在[T1,T2]内通过的路程即为路程函数的增量

s=s(T2)-s(T1)

5.2.1　变上限积分函数及其导数

图5-5

Φ′(x)=f(x)

(5-3)

证　设∀x∈[a,b]及增量Δx(x+Δx∈[a,b]),则函数Φ(x)在点x+Δx的函数值为

图5-6

相应的增量ΔΦ(图5-6)为

由估值定理有

ymΔx≤ΔΦ≤yMΔx(ym,yM为y=f(x)在区间[x,x+Δx]上的最大值和最小值),于是

令Δx→0,由于函数f(x)在x处连续,则

即Φ(x)在[a,b]上可导并且Φ′(x)=f(x).

定理2(原函数存在定理)　设函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数Φ(x)(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.

5.2.2　牛顿-莱布尼茨公式

定理3(微积分基本定理)　设f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则

(5-4)

在上式中,令x=a，得C=-F(a),再将之代入上式得

令x=b,并把积分变量t换成x,便得到

公式(5-4)称为牛顿-莱布尼茨公式.该公式进一步揭示了定积分与不定积分这两个概念之间的内在联系,从此便有了计算定积分的一般方法,即将定积分的值转化为原函数的增量,而原函数的求法已经在上一章“不定积分”中介绍了.这一公式的发现是积分学发展史的一个飞跃.因此,定理3也称为微积分的基本定理.

在f(x)连续且u(x),v(x)可导的条件下,利用定理1及函数的导数公式可得下述变限积分函数的导数公式:

解

在讨论极限、函数性态、中值定理等导数应用问题时,我们也会经常碰到变限积分函数.

图5-7

例7　求由y=x2,x=1,x=2及x轴所围图形的面积(图5-7).

解　由定积分定义知,所围图形的面积

例8　一列动车从A站以a=0.5 m/s2的加速度匀加速启动,当速度达到180 km/h时开始匀速行驶,问火车需要离开站台多少米才可使火车匀速行驶？

解　首先计算开始加速到匀速行驶所需的时间,即匀加速运动从v0=0到v(t)=180 km/h所需的时间：

由匀加速运动的速度v(t)=v0+at=0.5t=50,得t=100 s.

因此火车开始匀速行驶的地方到车站的距离应为:

解　被积函数含有绝对值符号,应先去掉绝对值符号后再积分.

习题5.2

1.求下列函数的导数:

2.求下列极限:

3.计算下列定积分:

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法

有了微积分基本定理,计算定积分就不需要根据定义求和式的极限,只要求出被积函数的任一原函数,再计算原函数在积分区间上的改变量即可.在一般情况下,把这两步截然分开是比较麻烦的.下面我们将计算不定积分的两种方法——换元积分法和分部积分法推广到定积分,得到定积分的换元法和分部积分法,以便更好地进行定积分计算.

5.3.1　定积分的换元积分法

定理1　设函数f(x)在[a,b]上连续,函数x=φ(t)满足条件:

(1) φ(α)=a,φ(β)=b,且a≤φ(t)≤b.

(2) φ(t)在[α,β](或[β,α])上有连续导数.

则有

(5-5)

公式(5-5)称为定积分的换元公式.

证　由于f(x)在[a,b]上连续,则存在原函数,在[a,b]上可积.设F′(x)=f(x),则

又{F[φ(t)]}′=F′[φ(t)]·φ′(t)=f[φ(t)]·φ′(t),于是

从而

定积分有与不定积分相类似的换元公式,但在应用定积分的换元积分公式时应注意:原积分变量x换成新积分变量t时,积分限也要作相应变化,即“换元必换限”.

因此应用定积分的换元法计算定积分时就不需要回代这一步了,即求出f[φ(t)]φ′(t)的一个原函数Φ(t)后,只要把对应于新变量t的积分上、下限分别代入Φ(t),然后相减即可,不必换回原积分变量.

解　令x-1=t,即x=t+1,则dx=dt.当x=0时,t=-1；当x=1时,t=0.于是

应用定积分的换元积分法时,可以不引进新变量而利用“凑微分”积分,这时积分上、下限就不需要改变.例如：

解　令x-1=t,则dx=dt.当x=0时,t=-1；当x=2时,t=1.于是

例5　设 f(x)在[-a,a]上连续,证明：

证　因为

于是

(1) 当f(x)为偶函数时,即f(-x)=f(x),则f(x)+f(-x)=2f(x),所以

(2) 当f(x)为奇函数时,即f(-x)=-f(x),则f(x)+f(-x)=0,所以

利用例5的结论可简化奇、偶函数在对称区间[-a,a]上的积分计算.其几何意义如图5-8与图5-9所示.

图5-8

图5-9

例7　设函数f(x)在[0,1]上连续,证明:

特别地,

(2) 令x=π-t,则dx=-dt.当x=0时,t=π；当x=π时,t=0.于是

xf(sinx)dx

故

例8　利用例7的结论计算：

.

解　(1)

所以有

从而

(2)

5.3.2　定积分的分部积分法

由不定积分的分部积分公式∫udv=uv-∫vdu,得

vdu

即

该公式成立的条件具体如下.

定理2　如果u=u(x),v=v(x)在[a,b]上具有连续导数,则

(5-6)

公式(5-6)称为定积分的分部积分公式.

解　令u=f(x),dv=dx,则有

例13　证明:

(5-7)

=(n-1)In-2-(n-1)In

解得In的递推公式

连续使用递推公式直到I1或I0,得

其中

公式(5-7)在以后解题中可以直接使用.

解

前面介绍了定积分的换元法和分部积分法,但实际应用中有些定积分却不宜或不能用上述方法计算出.例如,有些连续函数的原函数虽然存在,但不能用初等函数表示,因此就产生了定积分的近似计算问题.关于定积分的近似计算,读者可参见樊映川编写的《高等数学讲义》,这里不再赘述.

习题5.3

1.计算下列定积分:

.

2.计算下列定积分:

3.利用函数的奇偶性计算下列定积分:

5.设f(x)是以T为周期的连续函数,对任意的常数a：

5.4　反常积分

前面讨论的定积分有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但有些实际问题需要突破这些限制,考虑无穷区间上的积分,或是无界函数的积分.相对于以前所讲的定积分而言,这两类积分统称为反常积分.

5.4.1　无穷区间上的反常积分

类似地,可定义函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分：任取t<b,则

对于函数f(x)在(-∞,+∞)上的反常积分,可用前面两种无穷积分来定义:

图5-10

为书写简便起见,实际运算中常常省去极限记号,而形式地把∞当成一个“数”,直接利用牛顿-莱布尼茨公式的格式进行计算：

解

5.4.2　无界函数的反常积分

定义3　设函数f(x)在区间(a,b]上连续,且点a为f(x)的一个瑕点,任取a<t<b,如果极限

类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分:任取a<t<b,则

若函数f(x)的瑕点c∈(a,b),则定义瑕积分

因为

瑕积分收敛时也有相应的几何意义,其计算仍可沿用牛顿-莱布尼茨公式的计算形式,且瑕积分的计算也有与定积分相类似的分部积分法与换元积分法,这里不再赘述.

习题5.4

1.判定下列各反常积分的收敛性.如果收敛,计算下列反常积分的值:

总复习题5

1.填空题.

2.计算下列极限:

3.计算下列定积分:

6.设f(x)在区间[a,b]上连续,g(x)在区间[a,b]上连续且不变号,证明至少存在一点ξ∈[a,b],使下式成立: