【摘要】：在复变函数中，复积分是重要的内容之一，而计算复积分经常用亚纯函数的留数计算，复积分与曲线（实）积分又有着密切联系，因此，要借助于留数计算曲线（实）积分，那么应满足什么样的条件呢？，zn的亚纯函数，则曲线（实）积分证 因在D上有二元（实）函数g（x，y）＝，而＝ds表示曲线弧微分，且满足定理1的条件，所以而由简单闭曲线c围成的单连通区域上只有有限个孤立奇点z1，z2，…
在复变函数中，复积分是重要的内容之一，而计算复积分经常用亚纯函数的留数计算，复积分与曲线（实）积分又有着密切联系，因此，要借助于留数计算曲线（实）积分，那么应满足什么样的条件呢？于是给出如下定理.
定理2.10.1 设曲线c是一条简单光滑曲线，如果在曲线c上复变函数f（z）连续，且f（z）与
的辐角主值为定值（θ为z的辐角），则
证 因复变函数f（z）在简单光滑曲线c上连续，且f（z）与
之积
的辐角主值为定值，因此不妨设
故此，
所以，
故
定理2.10.2 设曲线c是一条简单光滑闭曲线，如果在由曲线c围成的区域D内存在简单光滑闭曲线c0，且复变函数f（z）在闭曲线c0上满足定理2.10.1的条件，则在由曲线c和曲线c0围成的复连通闭区域D上的解析函数f（z）有
证 因函数f（z）在复连通闭区域D上的解析，则
在曲线c0上满定理2.10.1的条件，所以由定理2.10.1得
而又
由于
＝ds表示曲线弧微分，于是在满足定理2.10.1条件的前提下，可得到如下推论.
推论2.10.1 若在简单光滑闭曲线c上有二元（实）函数g（x，y）＝
，f（z）是在由简单闭曲线c围成的单连通区域D内只有有限个孤立奇点z1，z2，…，zn的亚纯函数，则曲线（实）积分
证 因在D上有二元（实）函数g（x，y）＝
，而
＝ds表示曲线弧微分，且满足定理1的条件，所以
而由简单闭曲线c围成的单连通区域上只有有限个孤立奇点z1，z2，…，zn的亚纯函数f（z）沿闭曲线c的复积分
所以，
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