指标的标准化（无量纲化）

6.6.2　指标的标准化（无量纲化）

一般来说，指标可能含有“极大型”指标、“极小型”指标、“居中型”指标和“区间型”指标。对于某些定量指标，如产值、利润等，我们期望它们的取值越大越好，这类指标我们称为极大型指标（也称正指标）；对于诸如成本、能耗等一类指标，我们期望它们的取值越小越好，这类指标我们称为极小型指标（也称逆指标）；诸如人的身高、体重，我们既不期望它们的取值越大越好，也不期望它们的取值越小越好，而是期望它们的取值越居中越好，我们称这类指标为居中型指标；而区间型指标是期望其取值以落在某个区间内为最佳的指标。所以我们在进行指标的处理，如主成分分析、独立成分分析或综合评价时，不能简单地运用公式或模型，必须先将各指标进行标准化处理，变换成无量纲的指数化数值或分值，再按照一定的方法进行计算。评价指标值标准化处理就是将各类评价指标转化为极小型（或极大型）指标。标准化处理的方法也有好几种，这里主要介绍以下常用的两种。

方法一：

对于极大型指标x_ij，令：

对于极小型指标x_ij，令：

对于居中型指标x，令：

式中，m指标x的一个允许下界；

　M为指标x的一个允许上界。

对于区间型指标x，令：

式中，[q₁，q₂]为指标x的最佳稳定区间，M，m分别为x的允许上、下界。

通过以上公式算出x^*，定义其标准化值：

由此得到标准化矩阵：

方法二：Z-score标准化方法：

Z-Score方法将所有变量数据通过标准化转化为均值为0、方差为1的无量纲数值。Z-Score方法能够避免由于变量均值不同导致的数据扭曲，其计算公式如下：

A．正指标

式中，为样本数据的均值；s为样本数据的标准差化

B．逆指标

第一种方法：先取倒数，再进行标准化（韦如意，2004）。

第二种方法：先进行标准化，然后取倒数（刘传国，2004）：

式中，——标准化后的第i个指标值；

　y_i——未标准化的第i个指标值；

　——平均值；

　ε——标准方差。